(2,0) Um campo de velocidade bidimensional, incompressível e em regime permanente é dado por v_{x}=x y-t ; v_{y}=t y onde as coordenadas x e y estão em m e módulo da velocidade está em \mathrm{m} / \mathrm{s}. Calcule a aceleração no ponto (\mathbf{x}=\mathbf{1} \mathbf{m} ; \mathbf{y}=\mathbf{1} \mathbf{m}) no tempo de 1 segundo.

Passo 1

O enunciado fornece um campo de velocidade bidimensional
v_x = x\,y - t,
v_y = t\,y,
em que (x,y) está em metros, t em segundos. Precisamos calcular a aceleração material
\mathbf{a} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}
no ponto (x=1\,\mathrm{m},y=1\,\mathrm{m}) para t=1\,\mathrm{s}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais em relação a t:
\frac{\partial v_x}{\partial t} = -1,
\frac{\partial v_y}{\partial t} = y.
No ponto y=1 isto dá
\left.\frac{\partial v_x}{\partial t}\right|_{(1,1,1)} = -1,
\left.\frac{\partial v_y}{\partial t}\right|_{(1,1,1)} = 1.

Passo 3

Agora as derivadas parciais espaciais:
\frac{\partial v_x}{\partial x} = y,\quad \frac{\partial v_x}{\partial y} = x,
\frac{\partial v_y}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial v_y}{\partial y} = t.

Passo 4

Avalie \mathbf{v} no ponto e instante dados:
v_x(1,1,1) = 1\cdot1 - 1 = 0,\quad v_y(1,1,1) = 1\cdot1 = 1.
Os termos convectivos são
(\mathbf{v}\cdot\nabla)v_x = v_x\,\frac{\partial v_x}{\partial x} + v_y\,\frac{\partial v_x}{\partial y} = 0\cdot1 + 1\cdot1 = 1,
(\mathbf{v}\cdot\nabla)v_y = v_x\,\frac{\partial v_y}{\partial x} + v_y\,\frac{\partial v_y}{\partial y} = 0\cdot0 + 1\cdot1 = 1.

Passo 5

Some os termos locais e convectivos para obter as componentes da aceleração:
a_x = \frac{\partial v_x}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)v_x = -1 + 1 = 0,
a_y = \frac{\partial v_y}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)v_y = 1 + 1 = 2.

Resposta

\displaystyle \mathbf{a} = (0,\,2)\,\mathrm{m/s^2}

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