No exercício anterior foi fornecido o valor de pressão manométrica de entrada. No entanto, essa informação não precisaria necessariamente ser dada. Sendo assim, assumindo que os critérios de aplicabilidade da equação de Bernoulli são satisfeitos, mostre como seria possível calcular o valor da pressão de entrada usando os demais dados do enunciado do exercício anterior.

Passo 1

No enunciado anterior tínhamos um escoamento de vazão Q que entra em um tubo de diâmetro D_1 num ponto elevado z_1 e sai noutro trecho de diâmetro D_2 a uma altura z_2, com velocidade v_1 na entrada e v_2 na saída. A pressão manométrica de saída p_2 era conhecida e a de entrada p_1 havia sido fornecida, mas podemos deduzi-la usando apenas os outros dados (vazão, diâmetros, comprimento, carga de atrito, diferenças de altura, etc.) assumindo que podemos aplicar a equação de Bernoulli com perdas.

Passo 2

Calcule as velocidades em cada seção a partir de Q. Como a área é A_i=\pi D_i^2/4, temos
v_i = \frac{Q}{A_i} = \frac{4\,Q}{\pi\,D_i^2}\quad(i=1,2).

Passo 3

Determine a perda de carga total entre entrada e saída. Geralmente é a soma da perda por atrito em trecho uniforme (Darcy–Weisbach) e eventuais perdas localizadas:
h_f = \lambda\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}, \qquad h_m = \sum K_j\,\frac{v^2}{2g},
onde v é a velocidade de referência (por exemplo v_2), \lambda é o fator de atrito, L o comprimento e K_j os coeficientes das perdas locais. A carga de pressão equivalente a essas perdas é \Delta p_{\rm perdas}=\rho\,g\,(h_f+h_m).

Passo 4

Aplique a equação de Bernoulli entre os pontos 1 (entrada) e 2 (saída), incluindo as perdas:
\frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + (h_f + h_m).
Multiplicando tudo por \rho g e isolando p_1
p_1 = p_2 + \tfrac{1}{2}\,\rho\,(v_2^2 - v_1^2) + \rho g\,(z_2 - z_1) + \rho g\,(h_f + h_m).

Passo 5

Substitua em cada termo os valores conhecidos do enunciado anterior:
  • p_2: pressão de saída dada,
  • v_1 e v_2 de acordo com o passo 2,
  • z_2 - z_1: diferença de nível entre saída e entrada,
  • \lambda, L, D, K_j e g para calcular (h_f+h_m).
    Fazendo essa substituição algébrica, obtém-se o valor numérico de p_1.

Resposta

A pressão de entrada p_1 pode ser calculada por
p_1 = p_2 + \tfrac12\,\rho\,(v_2^2 - v_1^2) + \rho g\,(z_2 - z_1) + \rho g\,(h_f + h_m),
em que
v_i = \frac{4Q}{\pi D_i^2}, \quad h_f = \lambda\frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}, \quad h_m = \sum K_j\frac{v^2}{2g}.
Bastará, então, inserir todos os valores numéricos do enunciado anterior para encontrar p_1.

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