30 Pontos) Determinação de Potência, Diâmetro para uma bomba. Uma bomba centrífuga é usada com uma pressão absoluta de 50 \mathrm{kNm}^{-2} para outro de 150 \mathrm{kNm}^{-2}. A elevação da água em cada reservatório é de 5 m e 15 m, respectivamente. A tubulação de cada bomba tem comprimentos equivalentes de 5 m e 20 m, respectivamente. Além disso, há uma válvula de controle na linha que tem uma perda de carga de 25 \% da Altura monométrica da bomba. Dados de uma bomba de geometria similar com um diâmetro de rotor de 0.15 m e uma velocidade de rotação de 1500 rpm são:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text { Vazão } Q\left(10^{-3} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}\right) & 0 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 \\\ \hline \text { Altura monométrica } H(\mathrm{~m}) & 9.25 & 8.81 & 7.85 & 6.48 & 4.81 & 2.96 \\\ \hline \text { Altura } & - & 0.96 & 1.03 & 1.19 & 1.26 & 1.45 \\\ \hline \end{array}
Determine a Altura monométrica, o diâmetro do rotor e a velocidade de rotação normal para uma velocidade do líquido de 2 \mathrm{~m} / s para a operação na máxima eficiência, e a potência para uma taxa de 0.05 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~s}^{-1}. Assuma um fator de atrito de 0.005.

Passo 1

O enunciado pede:
– Vazão de projeto Q=0{,}05\;\mathrm{m^3/s} com velocidade no tubo v=2\;\mathrm{m/s}.
– Reservatórios a \,5 m e 15 m de cota; pressões absolutas de 50 kN/m² e 150 kN/m².
– Tubulações equivalentes de 5 m (sucção) e 20 m (recalque), fator de atrito f=0{,}005.
– Válvula com perda de 25\% da altura monométrica da bomba, H_m.
– Bomba‐modelo (geom. similar) de diâmetro D_{\rm ref}=0{,}15 m, N_{\rm ref}=1500 rpm, com curva \{Q_{\rm ref},H_{\rm ref}\}: no ponto de máxima eficiência \;Q_{\rm ref}=15\times10^{-3} m³/s e H_{\rm ref}=6{,}48 m.
O que se busca:
  1. Calcular a altura monométrica total H_m.
  2. A partir das leis de semelhança hidrodinâmica, achar o diâmetro do rotor D e a rotação N de projeto (no ponto de máx­ima eficiência).
  3. Calcular a potência para Q=0{,}05\;\mathrm{m^3/s}.

Passo 2

– Área da seção do tubo a partir de Q e v:
A=\frac{Q}{v}=\frac{0{,}05}{2}=0{,}025\;\mathrm{m^2},
D_{\rm tubo}=\sqrt{\frac{4A}{\pi}} =\sqrt{\frac{4\cdot0{,}025}{\pi}} \approx0{,}178\;\mathrm{m}.

Passo 3

– Perda de carga por atrito na tubulação total L=5+20=25 m, usando fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f =f\,\frac{L}{D_{\rm tubo}}\;\frac{v^2}{2g} =0{,}005\;\frac{25}{0{,}178}\; \frac{2^2}{2\cdot9{,}81} \approx0{,}14\;\mathrm{m}.

Passo 4

– Cabe à bomba vencer:
  • Diferença de pressão:
    \displaystyle\Delta p/( \rho g) =\frac{150-50}{9{,}81\cdot1000}\approx10{,}19\;\mathrm{m}.
  • Diferença de nível: \Delta z=15-5=10\;\mathrm{m}.
  • Perda de carga total (tubos) h_f\approx0{,}14 m.
  • Válvula com \,25\% de H_m.
    – Balanceando:
H_m =\Delta p/(\rho g)+\Delta z+h_f \;+\;0{,}25\,H_m \quad\Longrightarrow\quad 0{,}75\,H_m=10{,}19+10+0{,}14
H_m=\frac{20{,}33}{0{,}75}\approx27{,}11\;\mathrm{m}.

Passo 5

No protótipo, o ponto de máxima eficiência ocorre em
Q_{\rm ref}=15\times10^{-3}\;\mathrm{m^3/s},\quad H_{\rm ref}=6{,}48\;\mathrm{m}.
Pelas leis de semelhança (mesma geometria):
\;Q\propto N\,D^3,
\;H\propto N^2\,D^2.

Passo 6

Defina
a=\frac{N}{N_{\rm ref}},\qquad b=\frac{D}{D_{\rm ref}}.
Então
\frac{Q}{Q_{\rm ref}} =\frac{0{,}05}{0{,}015} =a\,b^3 \quad\text{e}\quad \frac{H_m}{H_{\rm ref}} =\frac{27{,}11}{6{,}48} =a^2\,b^2.
Numericamente:
\frac{0{,}05}{0{,}015}=3{,}333,\quad \frac{27{,}11}{6{,}48}\approx4{,}185.
Isolando b:
(a\,b^3)^2=3{,}333^2\;\Longrightarrow\; a^2\,b^6=11{,}11, \quad a^2\,b^2=4{,}185} \;\Longrightarrow\; b^4=\frac{11{,}11}{4{,}185}\approx2{,}653
b=\sqrt{\sqrt{2{,}653}}\approx1{,}276 \;\Longrightarrow\; D=b\,D_{\rm ref}=1{,}276\cdot0{,}15\approx0{,}19\;\mathrm{m}.
Logo
a\,b^3=3{,}333\;\Longrightarrow\; a=\frac{3{,}333}}{1{,}276^3}\approx1{,}604 \;\Longrightarrow\; N=a\,N_{\rm ref}=1{,}604\cdot1500\approx2406\;\mathrm{rpm}.

Passo 7

– Potência hidráulica (supõe‐se rendimento útil \eta\approx1, pois não foi dado):
P=\rho\,g\,Q\,H_m =1000\cdot9{,}81\cdot0{,}05\cdot27{,}11 \approx1{,}33\times10^{4}\;\mathrm{W} \;=\;13{,}3\;\mathrm{kW}.

Resposta

Altura monométrica H_m\approx27{,}1 m.
Diâmetro do rotor D\approx0{,}19 m.
Rotação de projeto N\approx2400 rpm.
Potência hidráulica P\approx13{,}3 kW.

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