Para o campo de velocidade dado por V=a x i-b y j, onde a=b=1 s^-1 pode ser interpretado para representar o escoamento em um canto. Determine uma equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente no primeiro quadrante, incluindo aquela que passa pelo ponto (x, y)=(0,0).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um campo de velocidades
V = a,x,hatimath ;-; b,y,hatjmath
com dydx ;=;VyVx , que modela um escoamento num “canto”. A tarefa é achar a equação das linhas de corrente (streamlines) e desenhar algumas no primeiro quadrante, incluindo a que passe por .
Conteúdo: mecânica dos fluidos – linhas de corrente – e uso de equações diferenciais simples. Vamos precisar usar a definição
e integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, identificamos as componentes do campo:
Vx = a,x = x, Vy = -b,y = -y
Como linha de corrente satisfaz
dydx ;=;VyVx ;=;-yx,
fica a equação diferencial
dydx = -yx

Passo 3

Agora separamos variáveis pra integrar:
dyy = -,dxx
Integramos dos dois lados:
integral 1y,dy = -integral 1x,dx ;Longrightarrow; ln|y| = -ln|x| + C,
onde é a constante de integração.

Passo 4

Exponentiando, temos
ln|y| + ln|x| = C ;Longrightarrow; ln|xy| = C ;Longrightarrow; |xy| = e^C =: K
Como estamos no primeiro quadrante, e , então . Cada valor de dá uma hipérbole diferente. Para , a “linha de corrente” é dada por , ou seja, os próprios eixos ou (que passam pelo ponto , o ponto de estagnação).

Resposta

As linhas de corrente são dadas por
xy = K,
ou seja
y = Kx,
com constante. No primeiro quadrante gera hipérboles, e para temos os eixos (linha degenerada que passa por ).

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