Para o campo de velocidade dado por
, onde
pode ser interpretado para representar o escoamento em um canto. Determine uma equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente no primeiro quadrante, incluindo aquela que passa pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um campo de velocidades
com
, que modela um escoamento num “canto”. A tarefa é achar a equação das linhas de corrente (streamlines) e desenhar algumas no primeiro quadrante, incluindo a que passe por
.
Conteúdo: mecânica dos fluidos – linhas de corrente – e uso de equações diferenciais simples. Vamos precisar usar a definição
Conteúdo: mecânica dos fluidos – linhas de corrente – e uso de equações diferenciais simples. Vamos precisar usar a definição
e integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, identificamos as componentes do campo:
Como linha de corrente satisfaz
fica a equação diferencial
Passo 3
Agora separamos variáveis pra integrar:
Integramos dos dois lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Exponentiando, temos
Como estamos no primeiro quadrante,
e
, então
. Cada valor de
dá uma hipérbole diferente. Para
, a “linha de corrente” é dada por
, ou seja, os próprios eixos
ou
(que passam pelo ponto
, o ponto de estagnação).
Resposta
As linhas de corrente são dadas por
ou seja
com
constante. No primeiro quadrante
gera hipérboles, e para
temos os eixos (linha degenerada que passa por
).