Considere o campo de escoamento V=a x x i+b j, onde a=0,2 s^-2 e b=1 m / s. As coordenadas são medidas em metros. Para a partícula que passa pelo ponto (x, y)=(1,2) no instante t=0, trace a trajetória durante o intervalo de tempo de t=0 a 3 s. Compare-a com a linha de emissão que passa pelo mesmo ponto no instante t=3 segundos.

Passo 1

Beleza, temos um campo de escoamento estacionário
vec V=(Vx,Vy)=(a,x,;b),, a=0,2;s^-1,;b=1;tfracms,
O exercício pede duas coisas:
1) a trajetória (pathline) da partícula que em t=0 está em (1,2), para 0<= t<=3,s;
2) a linha de emissão (streakline) no instante t=3,s para o ponto fonte (1,2).
Conteúdo:
  • Resolver ODEs simples do tipo dot x=a,x e dot y=b.
  • Entender o que é pathline (caminho de uma partícula) e streakline (locus, num dado tempo, de todas as partículas injetadas continuamente num ponto).

Passo 2

Trajetória da partícula (pathline)
  1. Escrevemos as equações de movimento Lagrangianas: dxdt=a,x,, dydt=b,
    2. Condição inicial: em t=0, x(0)=1,;y(0)=2.
    3. Integramos:
    - Para x: $\displaystyle \frac{dx}{x}=a,dt;\Rightarrow;x(t)=1;e^{a,t},. $
    - Para dxx=a,dt;Rightarrow;x(t)=1;e^a,t, : $\displaystyle dy=b,dt;\Rightarrow;y(t)=2 + b,t,. $
Logo a pathline é
y

Passo 3

Linha de emissão no instante t=3,s (streakline)
  1. Na injeção contínua, chamamos de tau o instante em que cada partícula passa pelo ponto (1,2). Esse tau varia de 0 até 3,s.
  2. A partícula injetada em tau tem condição inicial x(tau)=1,;y(tau)=2 e depois segue a mesma ODE até o tempo fixo t=3.
  3. Para cada tau: x(3)=1,e^a,(3-tau),, y(3)=2 + b,(3-tau),
    4. Parametrizando por tau, obtemos a streakline. Para comparar direto com a pathline, eliminamos tau:
    3-tau=y-2bRightarrow x = e^a,(3-tau) = e^a,(y-2)/b,

Resposta

As duas curvas saem iguais!
Trajetória (pathline):
boxedx=e^0.2,t,;y=2+t,, 0<= t<=3,;
Linha de emissão em t=3,s:
boxedx=e^0.2,(y-2),;yin[2,5],
Note que, eliminando t=(y-2)/b, dá a mesma relação x=e^0.2,(y-2). Como o fluxo é estacionário, pathlines e streaklines coincidem.

Exercícios relacionados