Considere o campo de escoamento
, onde
e
. As coordenadas são medidas em metros. Para a partícula que passa pelo ponto
no instante
, trace a trajetória durante o intervalo de tempo de
a
. Compare-a com a linha de emissão que passa pelo mesmo ponto no instante
segundos.
Passo 1
Beleza, temos um campo de escoamento estacionário
O exercício pede duas coisas:
1) a trajetória (pathline) da partícula que em
2) a linha de emissão (streakline) no instante
Conteúdo:
- Resolver ODEs simples do tipo
e . - Entender o que é pathline (caminho de uma partícula) e streakline (locus, num dado tempo, de todas as partículas injetadas continuamente num ponto).
Passo 2
Trajetória da partícula (pathline)
- Escrevemos as equações de movimento Lagrangianas:
2. Condição inicial: em, .
3. Integramos:
- Para: $\displaystyle \frac{dx}{x}=a,dt;\Rightarrow;x(t)=1;e^{a,t},. $
- Para: $\displaystyle dy=b,dt;\Rightarrow;y(t)=2 + b,t,. $
Logo a pathline é
Passo 3
Linha de emissão no instante
s (streakline)
- Na injeção contínua, chamamos de
o instante em que cada partícula passa pelo ponto . Esse varia de até s. - A partícula injetada em
tem condição inicial e depois segue a mesma ODE até o tempo fixo . - Para cada
:
4. Parametrizando por, obtemos a streakline. Para comparar direto com a pathline, eliminamos :
Resposta
As duas curvas saem iguais!
Trajetória (pathline):
Trajetória (pathline):
Linha de emissão em
Note que, eliminando
, dá a mesma relação
. Como o fluxo é estacionário, pathlines e streaklines coincidem.