Um campo de velocidade é dado por V=a x^2 i+b x y^3 j, onde a= 1 m^-2 s^-1 e b=1 m^-3 s^-1. Determine a equação das linhas de corrente. Trace algumas linhas de corrente no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um campo de velocidade
vec V = a,x^2,hatimath ;+; b,x,y^3,hatjmath
com dydx = v(x,y)u(x,y), m⁻²s⁻¹ e m⁻³s⁻¹. A tarefa é achar a equação das linhas de corrente e desenhar algumas no primeiro quadrante.
Conteúdo: mecânica dos fluidos (linhas de corrente) e resolução por separação de variáveis. Vamos precisar:
- Saber que, em escoamento estacionário, as linhas de corrente satisfazem
  • Identificar e e integrar com calma.

Passo 2

Primeiro pegamos as componentes do campo:
u(x,y)=a,x^2 = x^2, v(x,y)=b,x,y^3 = x,y^3
(só coloquei dydx = vu = x,y^3x^2 = y^3x, para simplificar). A teoria manda usar

Passo 3

Agora a gente separa variáveis pra integrar:
dydx = y^3x Longrightarrow dyy^3 = dxx,

Passo 4

Integramos os dois lados:
integral !y^-3,dy ;=;integral !x^-1,dx ;Longrightarrow; y^-2-2 = ln|x| + C Longrightarrow; -12,y^2 = ln x + C,
(Aqui , então tirei valor absoluto.)

Passo 5

Vamos ajeitar pra ficar mais bonitinho. Multiplicando por 1y^2 = -2,ln x + C1 Longrightarrow boxed1y^2 + 2,ln x = C1,,:
com constante de integração. Essa é a família de linhas de corrente.

Passo 6

Pra esboçar umas curvas no primeiro quadrante, escolhemos alguns valores de 1y^2 + 2ln x = C1, , tipo . Cada dá uma curva implícita

- Para :
- Para :
- Para :
Elas ficam no primeiro quadrante, começam em com e crescem até um máximo onde o log faz a conta fechar.

Resposta

Equação geral das linhas de corrente:
1y^2 + 2,ln x = C1,
com constante.
Alguns traçados no 1º quadrante correspondem às curvas implícitas acima para valores de .

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