Um túnel de vento vertical no qual o ar escoa para cima e mantém suspensa e estática uma esfera de diâmetro D e densidade rhoi, é usado para avaliar a força de arraste do fluido sobre a esfera. Supondo que as principais variáveis sejam velocidade, densidade e viscosidade do ar, aceleração da gravidade e força de arraste, encontre as principais variáveis adimensionais Pi.

Passo 1

Beleza, o problema fala de uma esfera parada num túnel de vento vertical: a força de arraste do ar empurra pra cima e equilibra o peso da esfera. As variáveis que importam são
  • diâmetro da esfera
  • densidade do ar
  • viscosidade do ar
  • velocidade do ar
  • aceleração da gravidade
  • densidade da esfera
  • força de arraste
O conteúdo aqui é análise dimensional, usando o método de Buckingham Π. A gente vai precisar lembrar das dimensões básicas (massa , comprimento , tempo ) e da regra de formar produtos adimensionais.

Passo 2

Primeiro conta quantas variáveis temos: são 7 no total nº de grupos Π = 7 - 3 = 4 . Como usamos 3 dimensões fundamentais , pelo Buckingham teremos
º
Ou seja, vamos achar 4 grupos adimensionais Π.

Passo 3

Precisamos escolher 3 variáveis “repetidas” que contenham as três dimensões básicas. Uma escolha comum é
D;(L), V;(L/T), rho;(M/L^3)
Com essas, conseguimos gerar dimensões de . As outras 4 variáveis formarão cada uma um grupo Π.

Passo 4

Vamos formar o Π que envolve a força Pi1 = F times D^a , V^b , rho^c . Assumimos:
Pi1 = F ,D^-2,V^-2,rho^-1 = Frho,V^2,D^2
Dimensões de cada termo:
Somando expoentes de e igualando a zero:
  1. :
  2. :
  3. :
Daí . Logo

Passo 5

Agora o Π que leva a viscosidade Pi2 = mu ,D^a,V^b,rho^c :
a=-1, b=-1, c=-1
Dimensões: Pi2 = murho,V,D, . Repetindo o processo (colocando expoentes e zerando), dá
e então
que é justamente , o inverso do número de Reynolds.

Passo 6

Grupo com a gravidade Pi3 = g ,D^a,V^b,rho^c :
a=1, b=-2, c=0
Dimensões: Pi3 = g,DV^2, . Fazendo as contas de expoentes resulta
portanto
que é o inverso do quadrado do número de Froude.

Passo 7

Finalmente, o Π com a densidade da esfera Pi4 = rhoi ,D^a,V^b,rho^c :
a=0, b=0, c=-1
Dimensões de Pi4 = rhoirho, são . Repetindo a rotina, achamos
então
que é a razão de densidades.

Resposta

Os quatro grupos adimensionais principais são:

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