Um túnel de vento vertical no qual o ar escoa para cima e mantém suspensa e estática uma esfera de diâmetro
e densidade
, é usado para avaliar a força de arraste do fluido sobre a esfera. Supondo que as principais variáveis sejam velocidade, densidade e viscosidade do ar, aceleração da gravidade e força de arraste, encontre as principais variáveis adimensionais Pi.
Passo 1
Beleza, o problema fala de uma esfera parada num túnel de vento vertical: a força de arraste do ar empurra pra cima e equilibra o peso da esfera. As variáveis que importam são
- diâmetro da esfera
- densidade do ar
- viscosidade do ar
- velocidade do ar
- aceleração da gravidade
- densidade da esfera
- força de arraste
O conteúdo aqui é análise dimensional, usando o método de Buckingham Π. A gente vai precisar lembrar das dimensões básicas (massa
, comprimento
, tempo
) e da regra de formar produtos adimensionais.
Passo 2
Primeiro conta quantas variáveis temos: são 7 no total
. Como usamos 3 dimensões fundamentais
, pelo Buckingham teremos
Ou seja, vamos achar 4 grupos adimensionais Π.
Passo 3
Precisamos escolher 3 variáveis “repetidas” que contenham as três dimensões básicas. Uma escolha comum é
Com essas, conseguimos gerar dimensões de
. As outras 4 variáveis formarão cada uma um grupo Π.
Passo 4
Vamos formar o Π que envolve a força
. Assumimos:
Dimensões de cada termo:
Somando expoentes de
e igualando a zero:
-
: ⇒ -
: ⇒ ⇒ -
: ⇒
Daí
. Logo
Passo 5
Agora o Π que leva a viscosidade
:
Dimensões:
. Repetindo o processo (colocando expoentes e zerando), dá
e então
que é justamente
, o inverso do número de Reynolds.
Passo 6
Grupo com a gravidade
:
Dimensões:
. Fazendo as contas de expoentes resulta
portanto
que é o inverso do quadrado do número de Froude.
Passo 7
Finalmente, o Π com a densidade da esfera
:
Dimensões de
são
. Repetindo a rotina, achamos
então
que é a razão de densidades.
Resposta
Os quatro grupos adimensionais principais são: