Para o campo de velocidade
, onde
, e as coordenadas são medidas em metros, obtenha uma equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente para valores positivos de
.
Passo 1
O enunciado pede para achar a equação das linhas de corrente (streamlines) de um escoamento bidimensional dado por
onde
e
. As variáveis
estão em metros.
Conteúdo: geometria de escoamentos e linhas de corrente.
O que vamos usar: definição de linhas de corrente, que satisfazem a equação diferencial
Conteúdo: geometria de escoamentos e linhas de corrente.
O que vamos usar: definição de linhas de corrente, que satisfazem a equação diferencial
Passo 2
Primeiro, lembre que uma linha de corrente é aquela curva cujo vetor velocidade é tangente em cada ponto. Em coordenadas cartesianas, se
então a inclinação da linha no plano
é
Aqui não estamos resolvendo trajetórias no tempo, mas o contorno instantâneo das velocidades (streamlines).
Passo 3
Substituindo
e
na equação acima:
Observe que tudo em
cancela, sobrando uma constante.
Passo 4
Integrando em
:
onde
é a constante de integração, que diferencia cada linha de corrente.
Passo 5
Agora plugamos os valores numéricos
e
:
Logo a família de linhas de corrente é
Para traçar várias linhas de corrente com
, basta escolher diferentes
. Por exemplo:
-
: . -
: . -
: .
Essas são retas decrescentes, todas com inclinação
, interceptando o eixo
em
.
Resposta
A equação geral das linhas de corrente é