Para o campo de velocidade ^V=A x i+B x j, onde a=1 m^-3 s^-i e b=-1 / 2 m^-1 s^-1, e as coordenadas são medidas em metros, obtenha uma equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente para valores positivos de y.

Passo 1

O enunciado pede para achar a equação das linhas de corrente (streamlines) de um escoamento bidimensional dado por
V = A,x,hatimath + B,x,hatjmath
onde dydx=v(x,y)u(x,y), e . As variáveis estão em metros.
Conteúdo: geometria de escoamentos e linhas de corrente.
O que vamos usar: definição de linhas de corrente, que satisfazem a equação diferencial

Passo 2

Primeiro, lembre que uma linha de corrente é aquela curva cujo vetor velocidade é tangente em cada ponto. Em coordenadas cartesianas, se
u(x,y)=A,x, v(x,y)=B,x,
então a inclinação da linha no plano dydx=vu, é
Aqui não estamos resolvendo trajetórias no tempo, mas o contorno instantâneo das velocidades (streamlines).

Passo 3

Substituindo dydx = B,xA,x = BA, e na equação acima:
Observe que tudo em cancela, sobrando uma constante.

Passo 4

Integrando em y(x) = integral BA,dx = BA,x + C, :
onde é a constante de integração, que diferencia cada linha de corrente.

Passo 5

Agora plugamos os valores numéricos BA = -12, e y(x) = -12,x + C :
Logo a família de linhas de corrente é
Para traçar várias linhas de corrente com , basta escolher diferentes . Por exemplo:
  • : .
  • : .
  • : .
Essas são retas decrescentes, todas com inclinação , interceptando o eixo em .

Resposta

A equação geral das linhas de corrente é
boxedy = -tfrac12,x + C,, C>0,

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