O campo de velocidade é dado por \vec{V}=\langle a x t, b y\rangle(\mathrm{m} / \mathrm{s}), em que a e b são constantes expressas em respectivamente \mathrm{s}^{-2} e \mathrm{s}^{-1}, x e y estão em metros e t em segundos. Considerando que uma dada partícula do fluido se encontra no ponto ( x_{0}, y_{0} ) em t_{0}=0, encontre o vetor posição da partícula em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade \vec{V}=\langle a\,x\,t,\;b\,y\rangle
e pede a posição \vec{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle de uma partícula que em t=0 está em (x_0,y_0). Vamos usar que
\frac{d\vec r}{dt}=\vec V
gera um sistema de EDOs separáveis em x e y.

Passo 2

Resolver para y(t). Como
\frac{dy}{dt}=b\,y
é separável, escrevemos
\int_{y_0}^{y}\frac{1}{y'}\,dy'=\int_{0}^{t}b\,d\tau
o que dá
\ln\frac{y}{y_0}=b\,t
e portanto
y(t)=y_0\,e^{b\,t}.

Passo 3

Resolver para x(t). Temos
\frac{dx}{dt}=a\,x\,t,
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\frac{1}{x}\,dx=a\,t\,dt.
Integrando de 0 a t e de x_0 a x,
\int_{x_0}^{x}\frac{1}{x'}\,dx'=\int_{0}^{t}a\,\tau\,d\tau
resulta em
\ln\frac{x}{x_0}=\frac{a}{2}\,t^2
e assim
x(t)=x_0\,e^{\frac{a}{2}t^2}.

Passo 4

Juntando as componentes, obtemos o vetor posição \vec r(t)=\langle x(t),y(t)\rangle.

Resposta

\boxed{\vec r(t)=\bigl\langle x_0\,e^{\tfrac{a}{2}t^2}\;,\;y_0\,e^{b\,t}\bigr\rangle.}

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