O campo de velocidade de um escoamento bidimensional é descrito por:
(a) Determine se o escoamento é irrotacional. (Valor
pontos)
(b) Determine a função de corrente desse escoamento. (Valor
pontos)
(b) Determine a função de corrente desse escoamento. (Valor
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional
e pede duas coisas:
- (a) Determinar se o escoamento é irrotacional.
- (b) Determinar a função de corrente (stream function) desse escoamento.
Informações úteis extraídas do enunciado:
- Componente horizontal (velocidade em
): - Componente vertical (velocidade em
):
Passo 2
O que significa “irrotacional” numa escoamento 2D e como testar isso (aula rápida):
- Em dois dimensões, o rotacional (curl) do campo de velocidade tem apenas a componente no eixo
. Essa componente é dada por
- Se
em toda a região considerada, diz-se que o escoamento é irrotacional (não há vorticidade local).
Explicando as derivadas parciais usadas:significa “derivar em relação a mantendo fixo”; é análogo, derivando em relação a .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais pedidas, passo a passo:
- Para
:
Detalhe:
é tratado como constante ao derivar em
, e
.
- Para
:
Detalhe:
é constante em relação a
, e
.
Agora aplicando a fórmula do rotacional:
Passo 4
Conclusão sobre (a):
- Como
para todos os , o escoamento é irrotacional.
Comentário motivador: isso significa que não há “pequenos redemoinhos” locais — a vorticidade é zero.
Passo 5
Agora a função de corrente (introdução teórica e convenção):
- Para um escoamento bidimensional incompressível (ou mesmo para muitos campos 2D), existe uma função de corrente
tal que
- Racionalização rápida: curvas de nível de
são linhas de corrente; a convenção acima garante que a divergência se a existir de forma suave.
Antes de encontrar
, vale checar a divergência (isso também ensina):
portanto o fluxo é incompressível localmente e a existência de uma
suave é consistente.
Passo 6
Determinar
integrando as relações de definição:
- Use
. Como , integramos em relação a :
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque a integração foi em
).
Passo 7
Determinar
usando a segunda relação
:
- Calcule
a partir da expressão encontrada:
- Mas sabemos que
. Igualando:
- Assim
é constante: , onde é constante arbitrária (padrão em funções de corrente).
Passo 8
Escrever a função de corrente final e comentar:
- Tomando
(ou deixando a constante explícita), a função de corrente é
- Observação prática: constantes adicionadas a
não alteram as linhas de corrente; cada nível constante representa uma linha de corrente distinta.
Resposta
(a) Sim.
, portanto o escoamento é irrotacional.
(b) , onde
é constante.
(b)