O campo de velocidade de um escoamento bidimensional é descrito por:
V=\left(x^{2}-y^{2}\right) i-(2 x y) \hat{\jmath}
(a) Determine se o escoamento é irrotacional. (Valor \mathbf{1 , 5 0} pontos)
(b) Determine a função de corrente desse escoamento. (Valor \mathbf{1 , 5 0} pontos)

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional
V=\left(x^{2}-y^{2}\right)\mathbf{i}-(2xy)\mathbf{\hat\jmath}
e pede duas coisas:
  • (a) Determinar se o escoamento é irrotacional.
  • (b) Determinar a função de corrente (stream function) desse escoamento.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Componente horizontal (velocidade em x): \;u(x,y)=x^{2}-y^{2}.
  • Componente vertical (velocidade em y): \;v(x,y)=-2xy.

Passo 2

O que significa “irrotacional” numa escoamento 2D e como testar isso (aula rápida):
  • Em dois dimensões, o rotacional (curl) do campo de velocidade tem apenas a componente no eixo z. Essa componente é dada por
\left(\nabla\times V\right)_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.
  • Se \left(\nabla\times V\right)_z=0 em toda a região considerada, diz-se que o escoamento é irrotacional (não há vorticidade local).
    Explicando as derivadas parciais usadas: \partial v/\partial x significa “derivar v(x,y) em relação a x mantendo y fixo”; \partial u/\partial y é análogo, derivando u em relação a y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais pedidas, passo a passo:
  • Para \;v(x,y)=-2xy:
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-2xy)=-2y.
Detalhe: y é tratado como constante ao derivar em x, e \partial(-2x)/\partial x=-2.
  • Para \;u(x,y)=x^{2}-y^{2}:
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2})=-2y.
Detalhe: x^2 é constante em relação a y, e \partial(-y^2)/\partial y=-2y.
Agora aplicando a fórmula do rotacional:
\left(\nabla\times V\right)_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=(-2y)-(-2y)=0.

Passo 4

Conclusão sobre (a):
  • Como \left(\nabla\times V\right)_z=0 para todos os (x,y), o escoamento é irrotacional.
    Comentário motivador: isso significa que não há “pequenos redemoinhos” locais — a vorticidade é zero.

Passo 5

Agora a função de corrente (introdução teórica e convenção):
  • Para um escoamento bidimensional incompressível (ou mesmo para muitos campos 2D), existe uma função de corrente \psi(x,y) tal que
u=\frac{\partial \psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial \psi}{\partial x}.
  • Racionalização rápida: curvas de nível de \psi são linhas de corrente; a convenção acima garante que a divergência \partial u/\partial x+\partial v/\partial y=0 se a \psi existir de forma suave.
Antes de encontrar \psi, vale checar a divergência (isso também ensina):
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}(x^2-y^2)+\frac{\partial}{\partial y}(-2xy)=2x-2x=0,
portanto o fluxo é incompressível localmente e a existência de uma \psi suave é consistente.

Passo 6

Determinar \psi integrando as relações de definição:
  • Use u=\partial\psi/\partial y. Como u=x^{2}-y^{2}, integramos em relação a y:
\psi(x,y)=\int (x^{2}-y^{2})\,dy = x^{2}y-\frac{y^{3}}{3}+f(x),
onde f(x) é uma “constante” de integração que pode depender de x (porque a integração foi em y).

Passo 7

Determinar f(x) usando a segunda relação v=-\partial\psi/\partial x:
  • Calcule -\partial\psi/\partial x a partir da expressão encontrada:
-\frac{\partial \psi}{\partial x}=-\left(\frac{\partial}{\partial x}\left[x^{2}y-\frac{y^{3}}{3}+f(x)\right]\right)=-\left(2xy+f'(x)\right)=-2xy-f'(x).
  • Mas sabemos que v(x,y)=-2xy. Igualando:
-2xy-f'(x)=-2xy \quad\Rightarrow\quad f'(x)=0.
  • Assim f(x) é constante: f(x)=C, onde C é constante arbitrária (padrão em funções de corrente).

Passo 8

Escrever a função de corrente final e comentar:
  • Tomando C=0 (ou deixando a constante explícita), a função de corrente é
\psi(x,y)=x^{2}y-\frac{y^{3}}{3}+C.
  • Observação prática: constantes adicionadas a \psi não alteram as linhas de corrente; cada nível \psi= constante representa uma linha de corrente distinta.

Resposta

(a) Sim. \left(\nabla\times V\right)_z=0, portanto o escoamento é irrotacional.
(b) \psi(x,y)=x^{2}y-\dfrac{y^{3}}{3}+C, onde C é constante.

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