Os três componentes do vetor velocidade de um escoamento são:
\begin{aligned} & u=2 x^{2}+y^{2}+z^{2} \\\ & v=x y+y z+z^{2} \\\ & w=-3 x z-\frac{z^{2}}{2}+4 \end{aligned}
(a) Determine a taxa de dilatação volumétrica. (Valor \mathbf{1 , 0 0} pontos)
(b) Determine se o escoamento é irrotacional. (Valor \mathbf{1 , 0 0} pontos)

Passo 1

O enunciado dá as componentes da velocidade em função de (x,y,z) e pede duas coisas:
  • (a) a taxa de dilatação volumétrica;
  • (b) verificar se o escoamento é irrotacional.
As componentes fornecidas são:
u=2x^{2}+y^{2}+z^{2}, \qquad v=xy+yz+z^{2}, \qquad w=-3xz-\dfrac{z^{2}}{2}+4.

Passo 2

O que é a taxa de dilatação volumétrica e como calculá-la. A taxa de dilatação volumétrica é o divergente do campo de velocidade \mathbf{V}=(u,v,w). A fórmula é
\nabla\!\cdot\!\mathbf{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}.
Aqui cada termo significa a derivada parcial da componente de velocidade na direção do mesmo eixo; por exemplo \partial u/\partial x mede quanto u varia quando x varia mantendo y,z fixos.
Vamos calcular cada derivada parcial passo a passo.
Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x}. Como u=2x^{2}+y^{2}+z^{2}, apenas o termo 2x^{2} depende de x. Logo
\frac{\partial u}{\partial x}=4x.
Calcular \dfrac{\partial v}{\partial y}. Como v=xy+yz+z^{2}, os termos que dependem de y são xy e yz. Derivando em relação a y (com x,z constantes),
\frac{\partial v}{\partial y}=x+z.
Calcular \dfrac{\partial w}{\partial z}. Como w=-3xz-\dfrac{z^{2}}{2}+4, os termos que dependem de z são -3xz e -\dfrac{z^{2}}{2}. Derivando em relação a z (com x,y constantes),
\frac{\partial w}{\partial z}=-3x - z.
Somando os três termos obtemos o divergente:
\nabla\!\cdot\!\mathbf{V}=4x+(x+z)+(-3x-z)=2x.
Portanto a taxa de dilatação volumétrica é \nabla\!\cdot\!\mathbf{V}=2x.
Breve comentário físico: isso significa que o volume de um pequeno fluido material localizado em (x,y,z) cresce com taxa 2x. Para x>0 há expansão local (fonte), para x<0 há contração local (sumidouro) e para x=0 é localmente incompressível.

Passo 3

Agora vamos verificar se o escoamento é irrotacional. Um escoamento é irrotacional quando o rotacional (ou curl) do campo de velocidade é o vetor nulo em todo o domínio, isto é \nabla\times\mathbf{V}=\mathbf{0}.
A fórmula do rotacional em componentes é
\nabla\times\mathbf{V}=\left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z},\; \frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x},\; \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right).
Vamos calcular cada termo parcial usado acima.
Calcule \dfrac{\partial w}{\partial y}. Observando w=-3xz-\dfrac{z^{2}}{2}+4, não há dependência explícita em y, então
\frac{\partial w}{\partial y}=0.
Calcule \dfrac{\partial v}{\partial z}. Como v=xy+yz+z^{2},
\frac{\partial v}{\partial z}=y+2z.
Logo a primeira componente do rotacional é
\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}=0-(y+2z)=-y-2z.
Calcule \dfrac{\partial u}{\partial z}. Como u=2x^{2}+y^{2}+z^{2},
\frac{\partial u}{\partial z}=2z.
Calcule \dfrac{\partial w}{\partial x}. Como w=-3xz-\dfrac{z^{2}}{2}+4,
\frac{\partial w}{\partial x}=-3z.
Logo a segunda componente do rotacional é
\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}=2z-(-3z)=5z.
Calcule \dfrac{\partial v}{\partial x}. Como v=xy+yz+z^{2},
\frac{\partial v}{\partial x}=y.
Calcule \dfrac{\partial u}{\partial y}. Como u=2x^{2}+y^{2}+z^{2},
\frac{\partial u}{\partial y}=2y.
Logo a terceira componente do rotacional é
\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=y-2y=-y.
Juntando as componentes, o rotacional é
\nabla\times\mathbf{V}=(-y-2z,\;5z,\;-y).

Passo 4

Conclusão sobre irrotacionalidade. O campo é irrotacional somente se \nabla\times\mathbf{V} for o vetor nulo para todo (x,y,z). Aqui \nabla\times\mathbf{V}=(-y-2z,\;5z,\;-y), que não é o vetor nulo em geral (por exemplo, em muitos pontos essas componentes são diferentes de zero). Portanto o escoamento NÃO é irrotacional.
Mensagem rápida de ânimo: já fizemos todas as derivadas passo a passo — você consegue reproduzir isso na prova sem mistério. Diz que parece muita conta, mas é só aplicar as regras de derivada parcial.

Resposta

(a) \nabla\!\cdot\!\mathbf{V}=2x
(b) Não; \nabla\times\mathbf{V}=(-y-2z,\;5z,\;-y), portanto o escoamento não é irrotacional.

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