Os três componentes do vetor velocidade de um escoamento são:
(a) Determine a taxa de dilatação volumétrica. (Valor
pontos)
(b) Determine se o escoamento é irrotacional. (Valor
pontos)
(b) Determine se o escoamento é irrotacional. (Valor
Passo 1
O enunciado dá as componentes da velocidade em função de
e pede duas coisas:
- (a) a taxa de dilatação volumétrica;
- (b) verificar se o escoamento é irrotacional.
As componentes fornecidas são:
Passo 2
O que é a taxa de dilatação volumétrica e como calculá-la. A taxa de dilatação volumétrica é o divergente do campo de velocidade
. A fórmula é
Aqui cada termo significa a derivada parcial da componente de velocidade na direção do mesmo eixo; por exemplo
mede quanto
varia quando
varia mantendo
fixos.
Vamos calcular cada derivada parcial passo a passo.
Calcular
. Como
, apenas o termo
depende de
. Logo
Calcular
. Como
, os termos que dependem de
são
e
. Derivando em relação a
(com
constantes),
Calcular
. Como
, os termos que dependem de
são
e
. Derivando em relação a
(com
constantes),
Somando os três termos obtemos o divergente:
Portanto a taxa de dilatação volumétrica é
.
Breve comentário físico: isso significa que o volume de um pequeno fluido material localizado em
cresce com taxa
. Para
há expansão local (fonte), para
há contração local (sumidouro) e para
é localmente incompressível.
Passo 3
Agora vamos verificar se o escoamento é irrotacional. Um escoamento é irrotacional quando o rotacional (ou curl) do campo de velocidade é o vetor nulo em todo o domínio, isto é
.
A fórmula do rotacional em componentes é
Vamos calcular cada termo parcial usado acima.
Calcule
. Observando
, não há dependência explícita em
, então
Calcule
. Como
,
Logo a primeira componente do rotacional é
Calcule
. Como
,
Calcule
. Como
,
Logo a segunda componente do rotacional é
Calcule
. Como
,
Calcule
. Como
,
Logo a terceira componente do rotacional é
Juntando as componentes, o rotacional é
Passo 4
Conclusão sobre irrotacionalidade. O campo é irrotacional somente se
for o vetor nulo para todo
. Aqui
, que não é o vetor nulo em geral (por exemplo, em muitos pontos essas componentes são diferentes de zero). Portanto o escoamento NÃO é irrotacional.
Mensagem rápida de ânimo: já fizemos todas as derivadas passo a passo — você consegue reproduzir isso na prova sem mistério. Diz que parece muita conta, mas é só aplicar as regras de derivada parcial.
Resposta
(a)
(b) Não;
, portanto o escoamento não é irrotacional.