Os componentes do vetor velocidade de um escoamento incompressível e que ocorre em regime permanente são definidos por:
(a) Determine a forma do componente da velocidade v na direção y , que satisfaça a equação da continuidade. (Valor
pontos)
Passo 1
O enunciado dá as componentes do campo de velocidade em um escoamento incompressível e em regime permanente:
Pede-se determinar a forma do componente da velocidade na direção
, ou seja, encontrar
, de modo que a equação da continuidade seja satisfeita.
Passo 2
Lembrete (fórmula que vou usar): para um escoamento incompressível e em regime permanente a equação da continuidade é a condição de divergência nula do campo velocidade. Em notação cartesiana isso é
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
,
é a derivada parcial de
em relação a
, e
é a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais conhecidas uma a uma.
Para
temos
porque
e
são tratados como constantes ao derivar em relação a
.
Para
temos
pois ao derivar
em relação a
obtém-se
e ao derivar
obtém-se
.
Passo 4
Substituo essas derivadas na equação da continuidade:
Simplificando os termos
e
obtemos
ou seja
Passo 5
Agora integro essa relação em relação a
. Ao integrar uma derivada parcial
em relação a
,
e
são constantes, portanto
onde
é a “constante de integração” — como a diferenciação foi feita em relação a
, essa função pode depender de
e
(mas não de
).
Explicação didática curta: ao integrar
com respeito a
, qualquer função que não dependa de
desaparece da derivada e por isso aparece como constante de integração dependente das demais variáveis
.
Passo 6
Comentário prático: a forma geral de
que satisfaz a continuidade é
Se houver uma condição adicional de contorno ou condição inicial (por exemplo, valor de
em uma superfície
), essa condição determina
. Por exemplo, se soubermos que
então
e
.