Os componentes do vetor velocidade de um escoamento incompressível e que ocorre em regime permanente são definidos por:
\begin{aligned} & u=x^{2}+y^{2}+z^{2} \\\ & w=-2 x z-z^{2} \end{aligned}
(a) Determine a forma do componente da velocidade v na direção y , que satisfaça a equação da continuidade. (Valor \mathbf{2 , 0 0} pontos)

Passo 1

O enunciado dá as componentes do campo de velocidade em um escoamento incompressível e em regime permanente:
u = x^{2}+y^{2}+z^{2}, \qquad w = -2 x z - z^{2}.
Pede-se determinar a forma do componente da velocidade na direção y, ou seja, encontrar v(x,y,z), de modo que a equação da continuidade seja satisfeita.

Passo 2

Lembrete (fórmula que vou usar): para um escoamento incompressível e em regime permanente a equação da continuidade é a condição de divergência nula do campo velocidade. Em notação cartesiana isso é
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0.
Aqui \partial u/\partial x é a derivada parcial de u em relação a x, \partial v/\partial y é a derivada parcial de v em relação a y, e \partial w/\partial z é a derivada parcial de w em relação a z.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais conhecidas uma a uma.
Para u=x^{2}+y^{2}+z^{2} temos
\frac{\partial u}{\partial x}=2x,
porque y e z são tratados como constantes ao derivar em relação a x.
Para w=-2xz-z^{2} temos
\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(-2xz)-\frac{\partial}{\partial z}(z^{2})=-2x-2z,
pois ao derivar -2xz em relação a z obtém-se -2x e ao derivar -z^{2} obtém-se -2z.

Passo 4

Substituo essas derivadas na equação da continuidade:
2x+\frac{\partial v}{\partial y}+(-2x-2z)=0.
Simplificando os termos 2x e -2x obtemos
\frac{\partial v}{\partial y}-2z=0,
ou seja
\frac{\partial v}{\partial y}=2z.

Passo 5

Agora integro essa relação em relação a y. Ao integrar uma derivada parcial \partial v/\partial y em relação a y, x e z são constantes, portanto
v(x,y,z)=\int 2z\,dy = 2zy + H(x,z),
onde H(x,z) é a “constante de integração” — como a diferenciação foi feita em relação a y, essa função pode depender de x e z (mas não de y).
Explicação didática curta: ao integrar \partial v/\partial y com respeito a y, qualquer função que não dependa de y desaparece da derivada e por isso aparece como constante de integração dependente das demais variáveis x,z.

Passo 6

Comentário prático: a forma geral de v que satisfaz a continuidade é
v(x,y,z)=2zy+H(x,z).
Se houver uma condição adicional de contorno ou condição inicial (por exemplo, valor de v em uma superfície y=y_{0}), essa condição determina H(x,z). Por exemplo, se soubermos que v(x,0,z)=0 então H(x,z)=0 e v=2zy.

Resposta

v(x,y,z)=2zy+H(x,z)

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