Considere um escoamento bidimensional, em regıme permanente e invíscido, onde a única força de corpo relevante é a força peso. O peso específico do fluido é igual a
. O componente na direção x do vetor velocidade é dado por
, onde x está em metros e u em m/s. Considere que o eixo y é vertical (positivo para cima) e que a velocidade na origem do sistema de coordenadas
é nula. Admita que
.
(a) Determine a expressão do componente v do vetor velocidade de modo que a equação da continuidade para escoamento incompressível seja satisfeita. (Valor
pontos)
(b) Utilizando a equação de Bernoulli, calcule a diferença de entre os pontos (
,
e
. (Valor 1,50 pontos)
(a) Determine a expressão do componente v do vetor velocidade de modo que a equação da continuidade para escoamento incompressível seja satisfeita. (Valor
(b) Utilizando a equação de Bernoulli, calcule a diferença de entre os pontos (
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (resumo claro):
- Escoamento bidimensional, em regime permanente e invíscido; a única força de corpo relevante é a força-peso.
- Peso específico do fluido:
. - Aceleração da gravidade:
. - Componente
da velocidade: (com em metros e em ). - Eixo
vertical (positivo para cima). - A velocidade no ponto
é nula (ou seja, o vetor velocidade em é ). - Pedidos:
(a) Determinar a expressão do componentede forma que a equação da continuidade para escoamento incompressível seja satisfeita.
(b) Utilizando a equação de Bernoulli, calcular a diferença de pressão entre os pontose .
Passo 2
Equação da continuidade para escoamento incompressível, bidimensional e permanente — explicação didática:
- A equação da continuidade diz que, para fluxo incompressível e 2D em regime permanente, a soma das taxas de variação das componentes de velocidade deve ser zero:
- Aqui
é a componente da velocidade na direção (m/s) e é a componente na direção (m/s). A equação representa conservação de massa: o que entra por um lado deve sair por outro localmente. - Vamos usar essa equação para encontrar
a partir de .
Passo 3
Calcular
e obter
:
- Derivando
em relação a :
- Substituindo na continuidade:
- Isto significa que, para cada
fixo, a derivada de em relação a é uma função conhecida (linear em ).
Passo 4
Integrar em
para obter
e usar a condição no ponto origem:
- Integramos
em relação a (tratar como constante na integração):
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
- Agora usamos a condição dada: a velocidade no ponto
é nula. Em temos (ok) e deve ser . Então
- Isso nos informa que
. Para determinar para todo seria preciso uma condição adicional ao longo de uma curva (por exemplo, valor de em para todos ou outra condição física). Na ausência de outra condição o enunciado costuma assumir a forma mais simples . Adotaremos essa escolha (explico: é a escolha mais direta que respeita a condição em e produz um campo de velocidade simples e contínuo).
Passo 5
Apresentar a expressão final de
(conclusão do item (a)) — explicação e verificação:
- Tomando
, obtemos
- Verificação rápida: calcular
, que junto com satisfaz a continuidade: . Em temos , conforme dado. - Comentário de física/rigor: se fosse fornecida outra condição (por exemplo
para todo ), então a conclusão seria justificada rigorosamente. Aqui escolhemos a forma simples compatível com a condição dada.
Passo 6
Preparação para usar Bernoulli — qual forma usar e limitações (aula rápida):
- Para escoamento incompressível, invíscido, em regime permanente e corpo de força conservativo (peso), a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente (streamline) pode ser escrita, dividida por
, como:
onde
é a pressão (Pa),
é a velocidade (m/s),
é a gravidade (m/s²) e
a cota vertical (m).
- Importante: essa forma da equação é válida ao longo de uma mesma linha de corrente. Se o fluxo for irrotacional (potencial) a constante de Bernoulli é a mesma em todo o domínio e então pode ser usada entre quaisquer dois pontos. Se o fluxo for rotacional, a constante de Bernoulli varia de linha de corrente para linha de corrente.
- Antes de aplicar Bernoulli entre os pontos pedidos, devemos verificar se eles pertencem à mesma linha de corrente ou se o fluxo é irrotacional.
Passo 7
Verificar se os pontos
e
estão na mesma linha de corrente e checar rotação do campo de velocidade:
- Equação de linhas de corrente (streamlines):
. - Substituindo
e :
- Esta é uma EDO separável. Resolvend o ODE:
onde
é constante de integração que identifica cada linha de corrente.
- Calcular
nos pontos dados: - Para
: . - Para
: .
- Para
- Conclusão: os pontos
e pertencem a linhas de corrente diferentes (constantes diferentes). Portanto, em geral não se pode aplicar diretamente a equação de Bernoulli entre esses dois pontos, a menos que o fluxo fosse irrotacional. - Verificação da rotação (vorticidade) para confirmar: a componente de vorticidade fora do plano é
Calcular
e
. Logo
ou seja, o fluxo é rotacional. Portanto a constante de Bernoulli varia de linha de corrente para linha de corrente e não é a mesma em todo o campo.
- Resultado físico importante: estritamente falando, NÃO é válido aplicar Bernoulli entre
e porque eles não pertencem à mesma linha de corrente e o fluxo é rotacional.
Passo 8
(Opcional mas prático) — proceder com o cálculo pedido usando Bernoulli “como o enunciado pede”:
- O enunciado pede explicitamente “utilizando a equação de Bernoulli”. Muitos exercícios de prova assumem essa aplicação mesmo quando os pontos estão em linhas de corrente diferentes; aqui vou mostrar o cálculo numérico assumindo que se quer essa aplicação (ou seja, assumindo que é válido aplicar Bernoulli entre os pontos). Antes disso já expliquei a limitação anterior — fica ao leitor/avalidador decidir se aceita a hipótese adicional (por exemplo, considerar que a constante de Bernoulli é a mesma entre A e B).
- Procedimento:
- Calcular as componentes da velocidade nos dois pontos (em
): -
para ambos os pontos (mesmo ). -
-
-
- Calcular as velocidades escalares ao quadrado:
- Calcular as componentes da velocidade nos dois pontos (em
- Escrever Bernoulli (dividida por
) entre e : Rearranjando para a diferença de pressão : - Substituir valores:
- Notar uma simplificação útil:
. Assim (expressão equivalente, às vezes mais intuitiva). - Calcular numericamente:
Somando:
\[p_{A}-p_{B} = 96\,000 + 9\,810 = 105\,810\\ \mathrm{Pa}.\]
- Interpretação:
significa que, sob a hipótese de aplicação de Bernoulli entre os pontos, a pressão no ponto (mais baixo, ) é maior que a pressão no ponto (mais alto, ) por .
Resposta
(a)
(b)