Considere um escoamento bidimensional, em regıme permanente e invíscido, onde a única força de corpo relevante é a força peso. O peso específico do fluido é igual a 9810 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}. O componente na direção x do vetor velocidade é dado por \mathrm{u}=4 \mathrm{x}^{2}, onde x está em metros e u em m/s. Considere que o eixo y é vertical (positivo para cima) e que a velocidade na origem do sistema de coordenadas (0,0) é nula. Admita que \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(a) Determine a expressão do componente v do vetor velocidade de modo que a equação da continuidade para escoamento incompressível seja satisfeita. (Valor \mathbf{1 , 5 0} pontos)
(b) Utilizando a equação de Bernoulli, calcule a diferença de entre os pontos ( x=1,00 \mathrm{~m}, y=1,00 m) e (x=1,00 m ; y=2,00 m). (Valor 1,50 pontos)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumo claro):
  • Escoamento bidimensional, em regime permanente e invíscido; a única força de corpo relevante é a força-peso.
  • Peso específico do fluido: \gamma = 9810\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{3}.
  • Aceleração da gravidade: g = 9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • Componente x da velocidade: u = 4 x^{2} (com x em metros e u em \mathrm{m}/\mathrm{s}).
  • Eixo y vertical (positivo para cima).
  • A velocidade no ponto (0,0) é nula (ou seja, o vetor velocidade em (0,0) é \mathbf{0}).
  • Pedidos:
    (a) Determinar a expressão do componente v(x,y) de forma que a equação da continuidade para escoamento incompressível seja satisfeita.
    (b) Utilizando a equação de Bernoulli, calcular a diferença de pressão entre os pontos A=(x=1{,}00\\ \mathrm{m},\,y=1{,}00\\ \mathrm{m}) e B=(x=1{,}00\\ \mathrm{m},\,y=2{,}00\\ \mathrm{m}).

Passo 2

Equação da continuidade para escoamento incompressível, bidimensional e permanente — explicação didática:
  • A equação da continuidade diz que, para fluxo incompressível e 2D em regime permanente, a soma das taxas de variação das componentes de velocidade deve ser zero:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0.
  • Aqui u(x,y) é a componente da velocidade na direção x (m/s) e v(x,y) é a componente na direção y (m/s). A equação representa conservação de massa: o que entra por um lado deve sair por outro localmente.
  • Vamos usar essa equação para encontrar v(x,y) a partir de u(x,y)=4x^{2}.

Passo 3

Calcular \partial u/\partial x e obter \partial v/\partial y:
  • Derivando u=4x^{2} em relação a x:
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{d}{dx}(4x^{2}) = 8x.
  • Substituindo na continuidade:
8x + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial v}{\partial y} = -8x.
  • Isto significa que, para cada x fixo, a derivada de v em relação a y é uma função conhecida (linear em x).

Passo 4

Integrar em y para obter v(x,y) e usar a condição no ponto origem:
  • Integramos \partial v/\partial y = -8x em relação a y (tratar x como constante na integração):
v(x,y) = \int -8x\, dy = -8x\,y + C(x),
onde C(x) é uma “constante” de integração que pode depender de x.
  • Agora usamos a condição dada: a velocidade no ponto (0,0) é nula. Em (0,0) temos u(0,0)=4\cdot0^{2}=0 (ok) e v(0,0) deve ser 0. Então
v(0,0) = -8\cdot 0 \cdot 0 + C(0) = C(0) = 0.
  • Isso nos informa que C(0)=0. Para determinar C(x) para todo x seria preciso uma condição adicional ao longo de uma curva (por exemplo, valor de v em y=0 para todos x ou outra condição física). Na ausência de outra condição o enunciado costuma assumir a forma mais simples C(x)=0. Adotaremos essa escolha (explico: é a escolha mais direta que respeita a condição em (0,0) e produz um campo de velocidade simples e contínuo).

Passo 5

Apresentar a expressão final de v(x,y) (conclusão do item (a)) — explicação e verificação:
  • Tomando C(x)=0, obtemos
v(x,y) = -8 x y.
  • Verificação rápida: calcular \frac{\partial v}{\partial y} = -8x, que junto com \partial u/\partial x = 8x satisfaz a continuidade: 8x + (-8x)=0. Em (0,0) temos v(0,0)=0, conforme dado.
  • Comentário de física/rigor: se fosse fornecida outra condição (por exemplo v(x,0)=0 para todo x), então a conclusão C(x)=0 seria justificada rigorosamente. Aqui escolhemos a forma simples compatível com a condição dada.

Passo 6

Preparação para usar Bernoulli — qual forma usar e limitações (aula rápida):
  • Para escoamento incompressível, invíscido, em regime permanente e corpo de força conservativo (peso), a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente (streamline) pode ser escrita, dividida por \gamma, como:
\frac{p}{\gamma} + \frac{V^{2}}{2g} + z = \text{const ao longo de uma linha de corrente},
onde p é a pressão (Pa), V=\sqrt{u^{2}+v^{2}} é a velocidade (m/s), g é a gravidade (m/s²) e z a cota vertical (m).
  • Importante: essa forma da equação é válida ao longo de uma mesma linha de corrente. Se o fluxo for irrotacional (potencial) a constante de Bernoulli é a mesma em todo o domínio e então pode ser usada entre quaisquer dois pontos. Se o fluxo for rotacional, a constante de Bernoulli varia de linha de corrente para linha de corrente.
  • Antes de aplicar Bernoulli entre os pontos pedidos, devemos verificar se eles pertencem à mesma linha de corrente ou se o fluxo é irrotacional.

Passo 7

Verificar se os pontos A e B estão na mesma linha de corrente e checar rotação do campo de velocidade:
  • Equação de linhas de corrente (streamlines): \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{v}{u}.
  • Substituindo u=4x^{2} e v=-8xy:
\frac{dy}{dx} = \frac{-8xy}{4x^{2}} = -\frac{8xy}{4x^{2}} = -\frac{2y}{x}.
  • Esta é uma EDO separável. Resolvend o ODE:
\frac{dy}{y} = -2\,\frac{dx}{x} \quad\Rightarrow\quad \ln y = -2\ln x + \ln C \quad\Rightarrow\quad y = C\,x^{-2},
onde C é constante de integração que identifica cada linha de corrente.
  • Calcular C nos pontos dados:
    • Para A=(1,1): C = yx^{2} = 1\cdot 1^{2} = 1.
    • Para B=(1,2): C = 2\cdot 1^{2} = 2.
  • Conclusão: os pontos A e B pertencem a linhas de corrente diferentes (constantes C diferentes). Portanto, em geral não se pode aplicar diretamente a equação de Bernoulli entre esses dois pontos, a menos que o fluxo fosse irrotacional.
  • Verificação da rotação (vorticidade) para confirmar: a componente de vorticidade fora do plano é
\omega_{z} = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}.
Calcular \partial v/\partial x = \partial(-8xy)/\partial x = -8y e \partial u/\partial y = 0. Logo
\omega_{z} = -8y \neq 0 \\ \text{(salvo em \(y=0\))},
ou seja, o fluxo é rotacional. Portanto a constante de Bernoulli varia de linha de corrente para linha de corrente e não é a mesma em todo o campo.
  • Resultado físico importante: estritamente falando, NÃO é válido aplicar Bernoulli entre A e B porque eles não pertencem à mesma linha de corrente e o fluxo é rotacional.

Passo 8

(Opcional mas prático) — proceder com o cálculo pedido usando Bernoulli “como o enunciado pede”:
  • O enunciado pede explicitamente “utilizando a equação de Bernoulli”. Muitos exercícios de prova assumem essa aplicação mesmo quando os pontos estão em linhas de corrente diferentes; aqui vou mostrar o cálculo numérico assumindo que se quer essa aplicação (ou seja, assumindo que é válido aplicar Bernoulli entre os pontos). Antes disso já expliquei a limitação anterior — fica ao leitor/avalidador decidir se aceita a hipótese adicional (por exemplo, considerar que a constante de Bernoulli é a mesma entre A e B).
  • Procedimento:
    1. Calcular as componentes da velocidade nos dois pontos (em x=1):
      • u(1,y)=4\cdot 1^{2}=4\\ \mathrm{m/s} para ambos os pontos (mesmo x).
      • v(1,1) = -8\cdot 1\cdot 1 = -8\\ \mathrm{m/s}.
      • v(1,2) = -8\cdot 1\cdot 2 = -16\\ \mathrm{m/s}.
    2. Calcular as velocidades escalares ao quadrado: V_{A}^{2} = u^{2}+v^{2} = 4^{2}+(-8)^{2} = 16+64 = 80\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}},
V_{B}^{2} = 4^{2}+(-16)^{2} = 16+256 = 272\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  1. Escrever Bernoulli (dividida por \gamma) entre A e B: \frac{p_{A}}{\gamma} + \frac{V_{A}^{2}}{2g} + z_{A} = \frac{p_{B}}{\gamma} + \frac{V_{B}^{2}}{2g} + z_{B}.Rearranjando para a diferença de pressão p_{A}-p_{B}: p_{A}-p_{B} = \gamma\left[\frac{V_{B}^{2}-V_{A}^{2}}{2g} + (z_{B}-z_{A})\right].
  2. Substituir valores: V_{B}^{2}-V_{A}^{2} = 272-80 = 192\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}\!),\; z_{B}-z_{A} = 2-1 = 1\\ \mathrm{m}.
  3. Notar uma simplificação útil: \gamma = \rho g \Rightarrow \rho = \gamma/g = 9810/9{,}81 = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Assim p_{A}-p_{B} = \rho\left(\frac{V_{B}^{2}-V_{A}^{2}}{2}\right) + \rho g (z_{B}-z_{A})(expressão equivalente, às vezes mais intuitiva).
  4. Calcular numericamente: \rho\frac{192}{2} = 1000\cdot 96 = 96\,000\\ \mathrm{Pa},
\rho g (z_{B}-z_{A}) = 1000\cdot 9{,}81 \cdot 1 = 9\,810\\ \mathrm{Pa}.
 Somando:
 \[p_{A}-p_{B} = 96\,000 + 9\,810 = 105\,810\\ \mathrm{Pa}.\]
  • Interpretação: p_{A}-p_{B}>0 significa que, sob a hipótese de aplicação de Bernoulli entre os pontos, a pressão no ponto A (mais baixo, y=1) é maior que a pressão no ponto B (mais alto, y=2) por 105\,810\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

(a) v(x,y) = -8\,x\,y
(b) p(1{,}00\,\mathrm{m},\,1{,}00\,\mathrm{m}) - p(1{,}00\,\mathrm{m},\,2{,}00\,\mathrm{m}) = 105\,810\\ \mathrm{Pa}

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