O campo de velocidade de um escoamento é dado por:
V=a y^2 imath+b jmath
a=2[1 /(m s)] e b=3[m / s]. As coordenadas são medidas em metro. Sendo assim:
Obtenha a linha de corrente que passa pelo ponto (8,8).

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos um escoamento com campo de velocidade
V = a,y^2,imath ;+; b,jmath,
onde e . As coordenadas estão em metros. A missão é achar a linha de corrente que passe pelo ponto .
Conteúdo: mecânica dos fluidos, mais especificamente linhas de corrente.
O que vamos precisar:
  • Entender que linha de corrente é uma curva cuja tangente em cada ponto coincide com o vetor velocidade.
  • Montar a equação diferencial .
  • Integrar e ajustar constante usando .

Passo 2

Teoria básica:
Uma linha de corrente é definida por uma curva dydx ;=;v(x,y)u(x,y), que satisfaz
u(x,y) = a,y^2 = 2,y^2, v(x,y) = b = 3
onde dydx = 32,y^2 e são as componentes e do vetor velocidade .
No nosso caso:
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Passo 3

Agora a gente separa variáveis para resolver:
dydx = 32,y^2 Longrightarrow y^2,dy = 32,dx
Integramos dos dois lados:
integral y^2,dy = integral 32,dx ;Longrightarrow; y^33 = 32,x + C,
sendo a constante de integração.

Passo 4

Agora usamos a condição de passar por 8^33 ;=;32cdot 8 + C Longrightarrow 5123 = 12 + C Longrightarrow C = 5123 - 12 = 512 - 363 = 4763 :
y^33 = 32,x + 4763
Substituindo y^3 = 92,x + 476 na equação da linha de corrente:
Multiplicando tudo por 3 para ficar mais limpo:

Resposta

A linha de corrente que passa por boxedy^3 = 92,x + 476 é dada implicitamente por

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