Uma tubulação é alimentada com uma vazão de 0,5XX m^3/s de água. O tubo de entrada tem 0,2 m de diâmetro. O tubo de saída (descarga) tem diâmetro de 0,4 m. No ponto T será inserido uma turbina que remove 50 kW de potência do fluxo de água. Desconsidere qualquer transferência de calor. Não há variação de energia interna dentro da turbina e o regime é permanente e o fluxo incompressível. Considere g=10 m/s^2. XX são os dois últimos dígitos de sua matrícula
0,536 m^3/s
Com base no resultado das letras a e b, discuta o efeito da inserção da turbina na pressão do tubo de descarga.

Passo 1

Beleza, primeiro vamos resumir o que o exercício pede e de que matéria a gente vai usar.
Enunciado (resumido):
Você tem água incompressível, em regime permanente, vazão Q = 0,536 m³/s entrando num tubo de diâmetro d₁ = 0,2 m e saindo por um tubo de diâmetro d₂ = 0,4 m. No ponto de saída há uma turbina que retira 50 kW do fluxo. Não há transferência de calor nem variação de energia interna. Considere g = 10 m/s².
Conteúdo da matéria:
Teorema da energia (Bernoulli estendido) para fluxo com extração de potência por turbina (sem perdas por atrito e sem mudança de cota).
O que vamos precisar:
  1. Calcular velocidades v₁ e v₂ a partir de Q.
  2. Aplicar Bernoulli sem turbina (W=0) para achar p₂ em função de p₁.
  3. Aplicar Bernoulli com turbina (W=50 kW) para achar p₂ em função de p₁.
  4. Comparar as duas pressões para discutir o efeito da turbina.

Passo 2

Calcular as áreas e velocidades de escoamento
Área dos tubos:
A1 = pi d1^24 = pi (0,2)^24 approx 0,0314;m^2,
A2 = pi d2^24 = pi (0,4)^24 approx 0,1257;m^2
Velocidades pelo Q = 0,536 m³/s:
v1 = QA1 = 0,5360,0314approx 17,06;m/s,
v2 = QA2 = 0,5360,1257approx 4,27;m/s

Passo 3

Letra (a) – sem turbina (W=0)
Bernoulli (sem elevação e sem perdas):
[
\frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g}

\frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g}.
]
Multiplicando por p1rho g + v1^22g = p2rho g + v2^22g :
p1 + tfrac12rho v1^2 = p2 + tfrac12rho v2^2 ;;Longrightarrow;; p2 = p1 + rho2l(v1^2 - v2^2r)
Substituindo p2 = p1 + 10002,(291 - 18,2) approx p1 + 136,4;kPa , , :

Passo 4

Letra (b) – com turbina que retira W = 50 kW
Na forma geral do Bernoulli com trabalho extraído p1 + tfrac12rho v1^2 = p2 + tfrac12rho v2^2 + WQ por unidade de tempo:
p2 = p1 + rho2(v1^2 - v2^2) ;-;WQ
Isolando p2 = p1 +136,4;kPa ;-;50,0000,536;Pa approx p1 +136,4;kPa -93,3;kPa approx p1 +43,1;kPa :
Substituindo números ( , ):

Resposta

Sem a turbina: .
Com a turbina de 50 kW: .
Ou seja, a inserção da turbina faz a pressão no tubo de descarga diminuir (de +136 kPa acima de para +43 kPa), porque a turbina retira energia do fluxo.

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