O campo de velocidade de um escoamento é dado por:
e
. As coordenadas são medidas em metro. Sendo assim:
No instante
, quais são as coordenadas do ponto que passou pelo
em
?
No instante
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que precisamos para resolver.
Enunciado em resumo: o escoamento tem campo de velocidade
Enunciado em resumo: o escoamento tem campo de velocidade
com
[1/(m·s)] e
[m/s]. Pergunta: “no instante
s, quais são as coordenadas do ponto que passou por
em
?”
Conteúdo: cinemática de partículas de fluido (resolver ODEs para e
com condições iniciais). Vamos precisar de:
Conteúdo: cinemática de partículas de fluido (resolver ODEs para
- Montar as equações diferenciais
e . - Integrar cada uma, aplicando a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro, identificamos as EDOs a partir do campo de velocidade:
Explicando a teoria: em fluxo de fluido, o vetor velocidade
dá diretamente as componentes temporais das coordenadas de uma partícula. Para achar a trajetória
, basta resolver essas EDOs com condições iniciais conhecidas.
Passo 3
Vamos resolver primeiro a equação de
, pois é a mais simples:
Integramos ambos os lados em relação a
:
Usando a condição inicial
:
Logo
Passo 4
Agora resolvemos
:
Para achar
, integramos de 0 a
:
Sabemos
. Faça a integral:
– Troque , então
e
.
– Troque
Voltando a
:
. Portanto,
Passo 5
Só falta avaliar em
:
–
– Para :
–
– Para
Resposta
As coordenadas no instante
são