O campo de velocidade de um escoamento é dado por:
V=a y^2 imath+b jmath
a=2[1 /(m s)] e b=3[m / s]. As coordenadas são medidas em metro. Sendo assim:
No instante t=2 s, quais são as coordenadas do ponto que passou pelo (8,8) em t=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que precisamos para resolver.
Enunciado em resumo: o escoamento tem campo de velocidade
vec V = a,y^2,hatimath + b,hatjmath,
com [1/(m·s)] e [m/s]. Pergunta: “no instante s, quais são as coordenadas do ponto que passou por em ?”
Conteúdo: cinemática de partículas de fluido (resolver ODEs para e com condições iniciais). Vamos precisar de:
  • Montar as equações diferenciais e .
  • Integrar cada uma, aplicando a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, identificamos as EDOs a partir do campo de velocidade:
dxdt = a,y^2 = 2,y^2, dydt = b = 3
Explicando a teoria: em fluxo de fluido, o vetor velocidade dá diretamente as componentes temporais das coordenadas de uma partícula. Para achar a trajetória , basta resolver essas EDOs com condições iniciais conhecidas.

Passo 3

Vamos resolver primeiro a equação de dydt = 3 , pois é a mais simples:
integral dy = integral 3,dt Longrightarrow y(t) = 3t + C
Integramos ambos os lados em relação a 8 = y(0) = 3cdot0 + C Longrightarrow C = 8 :
boxedy(t) = 3t + 8
Usando a condição inicial :
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Passo 4

Agora resolvemos dxdt = 2,y^2(t) = 2l(3t+8r)^2 :
x(t) = x(0) + integral0^t 2l(3s+8r)^2 ,ds
Para achar integral 2(3s+8)^2,ds = 2integral u^2;du3 = 23integral u^2,du = 23cdotu^33 = 29,u^3 , integramos de 0 a x(t) = 8 + 29l[(3t+8)^3 - (3cdot0+8)^3r] = 8 + 29l[(3t+8)^3 - 8^3r] :
Sabemos . Faça a integral:
– Troque , então e .
Voltando a : . Portanto,

Passo 5

Só falta avaliar em 3cdot2+8=14, 14^3=2744, 8^3=512, :
x(2)=8 + 29(2744-512) =8 + 29cdot2232 =8 + 2cdot248 =8 + 496 =504
– Para :

Resposta

As coordenadas no instante boxed(x,y) = (504,;14) são

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