Um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional (plano xy) é dado por:
Calcule a aceleração no ponto
. (Resposta:
).
Passo 1
O enunciado dá um campo de velocidade bidimensional estacionário e incompressível, e pede a aceleração no ponto
.
Informações fornecidas:
Ponto onde devemos calcular a aceleração:
Pergunta clara: calcular as componentes
e
da aceleração nesse ponto.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): para um campo de velocidade de uma partícula de fluido, a aceleração é a derivada material de
. A fórmula geral é
Aqui cada termo significa:
-
é a variação local da velocidade no tempo num ponto fixo. -
é a aceleração convectiva: a mudança de ao longo das trajetórias (produto escalar entre e o operador gradiente ).
Como o enunciado diz que o campo é estacionário (não depende do tempo), temos
. Logo a aceleração reduz-se a
Em componentes (para um campo 2D
):
Isto é apenas a aplicação do produto escalar com o operador gradiente componente a componente.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais das componentes do campo (a função é linear, então as derivadas são constantes):
A componente é
. Então
A componente
A componente
é
. Então
Passo 4
Agora precisamos dos valores de
e
no ponto
. Substituímos na expressão de cada componente e efetuamos as contas passo a passo.
Para
:
Calculemos termos separadamente:
Somando:
Para
:
Termos:
Somando:
Então no ponto dado temos
Passo 5
Calculemos
usando a fórmula
Substituindo os valores:
Calculemos os produtos:
Somando:
Passo 6
Calculemos
usando a fórmula
Substituindo:
Produtos:
Somando:
Passo 7
Breve verificação/observação didática: a divergência do campo (que mede compressibilidade) é
confirmando que o campo é incompressível (consistência com o enunciado).