Um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional (plano xy) é dado por:
\vec{V}=(0,523-1,88 x+3,94 y) \vec{\imath}+(-2,44+1,26 x+1,88 y) \vec{\jmath}
Calcule a aceleração no ponto (\mathrm{x}, \mathrm{y})=(-1,55,2,07). (Resposta: \mathrm{a}_{\mathrm{x}}=-23,769 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \mathrm{a}_{\mathrm{y}}=13,664 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} ).

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidade bidimensional estacionário e incompressível, e pede a aceleração no ponto (x,y)=(-1,55,2,07).
Informações fornecidas:
\vec{V}=(0,523-1,88\,x+3,94\,y)\,\vec{\imath}+(-2,44+1,26\,x+1,88\,y)\,\vec{\jmath}
Ponto onde devemos calcular a aceleração:
(x,y)=(-1,55,\,2,07)
Pergunta clara: calcular as componentes \mathrm{a}_{x} e \mathrm{a}_{y} da aceleração nesse ponto.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): para um campo de velocidade de uma partícula de fluido, a aceleração é a derivada material de \vec{V}. A fórmula geral é
\vec{a}=\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Aqui cada termo significa:
  • \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} é a variação local da velocidade no tempo num ponto fixo.
  • (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} é a aceleração convectiva: a mudança de \vec{V} ao longo das trajetórias (produto escalar entre \vec{V} e o operador gradiente \nabla).
Como o enunciado diz que o campo é estacionário (não depende do tempo), temos \frac{\partial \vec{V}}{\partial t}=0. Logo a aceleração reduz-se a
\vec{a}=(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Em componentes (para um campo 2D \vec{V}=(V_x,V_y)):
a_x=V_x\frac{\partial V_x}{\partial x}+V_y\frac{\partial V_x}{\partial y}, \qquad a_y=V_x\frac{\partial V_y}{\partial x}+V_y\frac{\partial V_y}{\partial y}.
Isto é apenas a aplicação do produto escalar com o operador gradiente componente a componente.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais das componentes do campo (a função é linear, então as derivadas são constantes):
A componente V_x é V_x=0,523-1,88\,x+3,94\,y. Então
\frac{\partial V_x}{\partial x}=-1,88,\qquad \frac{\partial V_x}{\partial y}=3,94.
A componente V_y é V_y=-2,44+1,26\,x+1,88\,y. Então
\frac{\partial V_y}{\partial x}=1,26,\qquad \frac{\partial V_y}{\partial y}=1,88.

Passo 4

Agora precisamos dos valores de V_x e V_y no ponto (x,y)=(-1,55,2,07). Substituímos na expressão de cada componente e efetuamos as contas passo a passo.
Para V_x:
V_x=0,523-1,88(-1,55)+3,94(2,07).
Calculemos termos separadamente:
-1,88(-1,55)=+2,914,
3,94(2,07)=8,1558.
Somando:
V_x=0,523+2,914+8,1558=11,5928.
Para V_y:
V_y=-2,44+1,26(-1,55)+1,88(2,07).
Termos:
1,26(-1,55)=-1,953,
1,88(2,07)=3,8916.
Somando:
V_y=-2,44-1,953+3,8916=-0,5014.
Então no ponto dado temos
V_x=11,5928,\qquad V_y=-0,5014.

Passo 5

Calculemos a_x usando a fórmula
a_x=V_x\frac{\partial V_x}{\partial x}+V_y\frac{\partial V_x}{\partial y}.
Substituindo os valores:
a_x=11,5928\cdot(-1,88)+(-0,5014)\cdot 3,94.
Calculemos os produtos:
11,5928\cdot(-1,88)=-21,794464,
(-0,5014)\cdot 3,94=-1,975516.
Somando:
a_x=-21,794464-1,975516=-23,769980\approx-23,769.

Passo 6

Calculemos a_y usando a fórmula
a_y=V_x\frac{\partial V_y}{\partial x}+V_y\frac{\partial V_y}{\partial y}.
Substituindo:
a_y=11,5928\cdot 1,26+(-0,5014)\cdot 1,88.
Produtos:
11,5928\cdot 1,26=14,606928,
(-0,5014)\cdot 1,88=-0,942632.
Somando:
a_y=14,606928-0,942632=13,664296\approx13,664.

Passo 7

Breve verificação/observação didática: a divergência do campo (que mede compressibilidade) é
\nabla\cdot\vec{V}=\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}=-1,88+1,88=0,
confirmando que o campo é incompressível (consistência com o enunciado).

Resposta

a_x=-23,769\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}
a_y=13,664\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}

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