O campo de velocidade de um fluido é dado por F(x, y)=2 \sqrt[2]{y^{3} i}+3 x \sqrt{y} \vec{j}, e \gamma é a reta que liga o ponto (1,1) ao ponto (2,4). Calcule o trabalho realizado pelo campo para mover uma partícula sobre a curva \gamma.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O campo de velocidade (vetor) F(x,y)=2\sqrt{y^{3}}\,\vec{i}+3x\sqrt{y}\,\vec{j}.(Aqui usei que \sqrt[2]{y^3}=\sqrt{y^3}=y^{3/2}.)
  • A curva \gamma é a reta que liga o ponto (1,1) ao ponto (2,4).
O que é pedido:
  • Calcular o trabalho realizado pelo campo ao mover uma partícula sobre a curva \gamma, ou seja calcular a integral de linha \int_{\gamma} F\cdot d\vec{r}.
Informações relevantes adicionais que já podemos notar:
  • As componentes do campo são P(x,y)=2y^{3/2} e Q(x,y)=3x y^{1/2}.
  • O campo envolve raízes de y, então faz sentido observar que a curva tem y variando entre 1 e 4 (todas positivas), portanto estamos em uma região onde as expressões estão bem definidas.

Passo 2

Vou lembrar o que significa a integral de linha (definição prática que se usa em provas):
  • Se \gamma é parametrizada por \vec{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], então o trabalho é \int_{\gamma} F\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b} \big(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt.
Existem dois caminhos práticos para resolver: (i) parametrizar a reta e calcular direto pela fórmula acima; (ii) verificar se o campo é conservativo (isto é, se existe uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=F); nesse caso a integral depende apenas dos extremos e fica muito simples:
\int_{\gamma} F\cdot d\vec{r}=\varphi(\text{ponto final})-\varphi(\text{ponto inicial}).
Eu vou checar se o campo é conservativo porque isso costuma simplificar bastante o cálculo.

Passo 3

Critério de conservatividade (em duas dimensões, numa região onde as funções têm derivadas contínuas):
  • Para F=(P,Q), se \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} na região considerada, então F é um campo conservativo.
Calculemos as derivadas parciais (faça comigo passo a passo):
  • \displaystyle P(x,y)=2y^{3/2}. Diferenciando em relação a y: \frac{\partial P}{\partial y}=2\cdot\frac{3}{2}y^{1/2}=3y^{1/2}.
  • \displaystyle Q(x,y)=3x y^{1/2}. Diferenciando em relação a x: \frac{\partial Q}{\partial x}=3y^{1/2}.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=3y^{1/2} na região onde y>0, o campo é conservativo nessa região. Nossa reta \gamma fica inteiramente em y\in[1,4], ou seja dentro dessa região, portanto podemos usar potencial.

Passo 4

Encontrar a função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=F. Isso significa:
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=2y^{3/2},\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=3x y^{1/2}.
Integramos a primeira equação em relação a x:
\varphi(x,y)=\int 2y^{3/2}\,dx = 2x y^{3/2} + g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.
Agora derivamos essa expressão em relação a y e impomos que dê Q(x,y):
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=2x\cdot\frac{3}{2}y^{1/2}+g'(y)=3x y^{1/2}+g'(y).
Comparando com Q(x,y)=3x y^{1/2} obtemos g'(y)=0. Logo g(y) é constante e podemos tomar (sem perda) g\equiv 0.
Portanto uma potencial válido é
\varphi(x,y)=2x y^{3/2}.

Passo 5

Como o campo é conservativo, o trabalho é simplesmente a diferença do potencial entre ponto final e inicial:
  • Ponto inicial A=(1,1).
  • Ponto final B=(2,4).
Calcule \varphi(B) e \varphi(A):
  • Primeiro calcule y^{3/2} em y=4: 4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8.Então \varphi(2,4)=2\cdot 2\cdot 8=32.
  • Em y=1: 1^{3/2}=1,então \varphi(1,1)=2\cdot 1\cdot 1=2.
A integral (trabalho) é
\int_{\gamma}F\cdot d\vec{r}=\varphi(2,4)-\varphi(1,1)=32-2=30.
(Se quiser, é possível checar fazendo a parametrização da reta e integrando diretamente; o resultado coincide.)

Resposta

30

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