O campo de velocidade de um fluido é dado por
, e
é a reta que liga o ponto
ao ponto
. Calcule o trabalho realizado pelo campo para mover uma partícula sobre a curva
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- O campo de velocidade (vetor)
(Aqui usei que .) - A curva
é a reta que liga o ponto ao ponto .
O que é pedido:
- Calcular o trabalho realizado pelo campo ao mover uma partícula sobre a curva
, ou seja calcular a integral de linha
Informações relevantes adicionais que já podemos notar:
- As componentes do campo são
e . - O campo envolve raízes de
, então faz sentido observar que a curva tem variando entre e (todas positivas), portanto estamos em uma região onde as expressões estão bem definidas.
Passo 2
Vou lembrar o que significa a integral de linha (definição prática que se usa em provas):
- Se
é parametrizada por , , então o trabalho é
Existem dois caminhos práticos para resolver: (i) parametrizar a reta e calcular direto pela fórmula acima; (ii) verificar se o campo é conservativo (isto é, se existe uma função potencial
tal que
); nesse caso a integral depende apenas dos extremos e fica muito simples:
Eu vou checar se o campo é conservativo porque isso costuma simplificar bastante o cálculo.
Passo 3
Critério de conservatividade (em duas dimensões, numa região onde as funções têm derivadas contínuas):
- Para
, se na região considerada, então é um campo conservativo.
Calculemos as derivadas parciais (faça comigo passo a passo):
-
. Diferenciando em relação a : -
. Diferenciando em relação a :
Como
na região onde
, o campo é conservativo nessa região. Nossa reta
fica inteiramente em
, ou seja dentro dessa região, portanto podemos usar potencial.
Passo 4
Encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa:
Integramos a primeira equação em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Agora derivamos essa expressão em relação a
e impomos que dê
:
Comparando com
obtemos
. Logo
é constante e podemos tomar (sem perda)
.
Portanto uma potencial válido é
Passo 5
Como o campo é conservativo, o trabalho é simplesmente a diferença do potencial entre ponto final e inicial:
- Ponto inicial
. - Ponto final
.
Calcule
e
:
- Primeiro calcule
em : Então - Em
: então
A integral (trabalho) é
(Se quiser, é possível checar fazendo a parametrização da reta e integrando diretamente; o resultado coincide.)