Calcule a integral de superfície \iint_{S} x^{2} z+y^{2} z d S, onde S é o hemisfério x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 \operatorname{com} z \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{S} x^{2}z + y^{2}z \, dS,
onde S é o hemisfério definido por x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 com z\ge 0.
Informações dadas e o que precisamos:
  • A superfície S é a metade superior da esfera de raio 3.
  • O integrando é x^{2}z + y^{2}z.
  • Precisamos expressar esse integrando sobre a superfície e integrar sobre toda a superfície do hemisfério.

Passo 2

Primeira simplificação importante: agrupar termos envolvendo x^{2} e y^{2}. Observa-se que
x^{2}+y^{2}=9-z^{2},
porque x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 (peguei isso do enunciado). Assim o integrando fica
x^{2}z+y^{2}z=z(x^{2}+y^{2})=z(9-z^{2})=9z-z^{3}.
Isso já transforma o integrando em função somente de z, o que facilita bastante.

Passo 3

Agora vamos parametrizar a superfície do hemisfério usando coordenadas esféricas (a parametrização padrão da esfera):
Definir os ângulos
\varphi como o ângulo polar medido a partir do eixo z (ou seja, \varphi=0 no polo norte) e \theta o ângulo azimutal no plano xy. Para o hemisfério superior temos os intervalos
0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2},\qquad 0 \le \theta \le 2\pi.
A parametrização da esfera de raio R=3 é
\mathbf{r}(\varphi,\theta)=\big(3\sin\varphi\cos\theta,\;3\sin\varphi\sin\theta,\;3\cos\varphi\big).
O elemento de área na esfera é dado por
dS = \big|\partial_{\varphi}\mathbf{r}\times\partial_{\theta}\mathbf{r}\big|\,d\varphi\,d\theta = R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Aqui R=3, logo
dS = 9\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
(Briefing: isso vem de calcular o produto vetorial das derivadas da parametrização; o resultado padrão para uma esfera de raio R é R^{2}\sin\varphi.)
Também expressamos z em função de \varphi:
z=3\cos\varphi.
Substituindo z em 9z-z^{3} obtemos
9z-z^{3}=9(3\cos\varphi)-(3\cos\varphi)^{3}=27\cos\varphi-27\cos^{3}\varphi=27(\cos\varphi-\cos^{3}\varphi).
Multiplicando pelo elemento de área dS=9\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta o integrando total (função escalar a integrar em \varphi,\theta) fica
\big(9z-z^{3}\big)dS = 27(\cos\varphi-\cos^{3}\varphi)\cdot 9\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = 243(\cos\varphi-\cos^{3}\varphi)\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Montamos a integral dupla sobre os intervalos de \theta e \varphi:
\iint_{S} x^{2}z+y^{2}z\,dS = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2} 243(\cos\varphi-\cos^{3}\varphi)\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
A integral em \theta é trivial (não depende de \theta), dando um fator 2\pi:
= 2\pi\cdot 243\int_{0}^{\pi/2}(\cos\varphi-\cos^{3}\varphi)\sin\varphi\,d\varphi.
Calculemos a integral em \varphi por substituição: faça u=\cos\varphi. Então du=-\sin\varphi\,d\varphi.
Quando \varphi=0 temos u=1; quando \varphi=\pi/2 temos u=0. Portanto
\int_{0}^{\pi/2}(\cos\varphi-\cos^{3}\varphi)\sin\varphi\,d\varphi = \int_{1}^{0} (u-u^{3})(-du) = \int_{0}^{1}(u-u^{3})\,du.
Agora integramos term a termo:
\int_{0}^{1}(u-u^{3})\,du = \left[\frac{u^{2}}{2}-\frac{u^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}.
Então a integral total vale
2\pi\cdot 243 \cdot \frac{1}{4} = \frac{486\pi}{4} = \frac{243\pi}{2}.

Passo 5

Pequeno comentário para conferir a plausibilidade: o integrando é não-negativo no hemisfério superior (pois z\ge0 e x^{2}+y^{2}\ge0), então o resultado positivo \dfrac{243\pi}{2} faz sentido numericamente. Além disso os cálculos foram feitos com transformações e substituições padrão que são úteis em provas.

Resposta

\dfrac{243\pi}{2}

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