Calcule a integral de superfície \iint_{S} x^{2} z+y^{2} z d S, onde S é o hemisfério x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 \operatorname{com} z \geq 0.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{S} x^{2}z + y^{2}z \, dS,
onde S é o hemisfério definido por x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 com z\ge 0.
Informações dadas e o que precisamos:
A superfície S é a metade superior da esfera de raio 3.
O integrando é x^{2}z + y^{2}z.
Precisamos expressar esse integrando sobre a superfície e integrar sobre toda a superfície do hemisfério.
Passo 2
Primeira simplificação importante: agrupar termos envolvendo x^{2} e y^{2}. Observa-se que
x^{2}+y^{2}=9-z^{2},
porque x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 (peguei isso do enunciado). Assim o integrando fica
x^{2}z+y^{2}z=z(x^{2}+y^{2})=z(9-z^{2})=9z-z^{3}.
Isso já transforma o integrando em função somente de z, o que facilita bastante.
Passo 3
Agora vamos parametrizar a superfície do hemisfério usando coordenadas esféricas (a parametrização padrão da esfera):
Definir os ângulos \varphi como o ângulo polar medido a partir do eixo z (ou seja, \varphi=0 no polo norte) e \theta o ângulo azimutal no plano xy. Para o hemisfério superior temos os intervalos
Pequeno comentário para conferir a plausibilidade: o integrando é não-negativo no hemisfério superior (pois z\ge0 e x^{2}+y^{2}\ge0), então o resultado positivo \dfrac{243\pi}{2} faz sentido numericamente. Além disso os cálculos foram feitos com transformações e substituições padrão que são úteis em provas.