Considerando que os radicais podem ser escritos na forma de expoentes racionais, simplifique as expressões
a)
a)
Passo 1
O que o enunciado pede: simplificar a expressão
usando que radicais podem ser escritos como expoentes racionais.
Informações relevantes dadas/assumidas:
- A expressão contém raízes quadradas sucessivas.
- Para que as raízes quadradas representem números reais, é natural assumir
. Vou trabalhar nessa hipótese. - Lembrete útil (vou usar isso depois):
é a raiz quadrada principal, que corresponde ao expoente .
Passo 2
Converter raiz quadrada em expoente racional: por definição, para qualquer
,
Explicando: escrever uma raiz como potência facilita usar as regras dos expoentes. Por exemplo,
significa elevar
à potência
.
Passo 3
Aplicar isso ao radical mais interno. O radical mais interno é
. Então defino
Passo 4
Agora vou subir um nível: o próximo radical é
. Substituo
e uso a regra do produto de potências com mesma base:
regra: se a mesma base aparece com expoentes, então
regra: se a mesma base
Aplicando,
Agora converto a raiz em potência:
Uso a regra da potência de potência:
regra: .
Assim
regra:
Assim
Logo
Passo 5
Subo mais um nível:
. Substituo
:
Transformando a raiz em potência e multiplicando expoentes,
Portanto
Passo 6
Finalmente, a expressão completa é
. Substituo
:
Transformando a raiz em potência e multiplicando expoentes:
Passo 7
Comentário didático e padrão geral: em cada nível, somamos o expoente
(do fator
) ao expoente obtido no nível anterior e depois multiplicamos por
(pela raiz). Isso gera a sequência de expoentes
que são da forma
após
níveis de aninhamento. No nosso caso tivemos 4 fatores
aninhados, dando
.
Passo 8
Verificação numérica rápida (cheque): para
(válido porque
),
usando a forma final
portanto ambos lados coincidem numericamente (detalhes completos da conta mostram consistência). Isso confirma a forma obtida.