Considerando que os radicais podem ser escritos na forma de expoentes racionais, simplifique as expressões
a) \sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a}}}}

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão
\sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a}}}}
usando que radicais podem ser escritos como expoentes racionais.
Informações relevantes dadas/assumidas:
  • A expressão contém raízes quadradas sucessivas.
  • Para que as raízes quadradas representem números reais, é natural assumir a\ge 0. Vou trabalhar nessa hipótese.
  • Lembrete útil (vou usar isso depois): \sqrt{\cdot} é a raiz quadrada principal, que corresponde ao expoente 1/2.

Passo 2

Converter raiz quadrada em expoente racional: por definição, para qualquer x\ge 0,
\sqrt{x}=x^{1/2}.
Explicando: escrever uma raiz como potência facilita usar as regras dos expoentes. Por exemplo, \sqrt{x} significa elevar x à potência 1/2.

Passo 3

Aplicar isso ao radical mais interno. O radical mais interno é \sqrt{a}. Então defino
E_1=\sqrt{a}=a^{1/2}.

Passo 4

Agora vou subir um nível: o próximo radical é \sqrt{a\sqrt{a}}. Substituo \sqrt{a}=a^{1/2} e uso a regra do produto de potências com mesma base:
regra: se a mesma base x>0 aparece com expoentes, então
x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}.
Aplicando,
\sqrt{a\sqrt{a}}=\sqrt{a\cdot a^{1/2}}=\sqrt{a^{1+1/2}}=\sqrt{a^{3/2}}.
Agora converto a raiz em potência:
\sqrt{a^{3/2}}=(a^{3/2})^{1/2}.
Uso a regra da potência de potência:
regra: (x^{m})^{n}=x^{mn}.
Assim
(a^{3/2})^{1/2}=a^{(3/2)\cdot(1/2)}=a^{3/4}.
Logo
E_2=\sqrt{a\sqrt{a}}=a^{3/4}.

Passo 5

Subo mais um nível: \sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}. Substituo E_2:
\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=\sqrt{a\cdot a^{3/4}}=\sqrt{a^{1+3/4}}=\sqrt{a^{7/4}}.
Transformando a raiz em potência e multiplicando expoentes,
\sqrt{a^{7/4}}=(a^{7/4})^{1/2}=a^{(7/4)\cdot(1/2)}=a^{7/8}.
Portanto
E_3=\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=a^{7/8}.

Passo 6

Finalmente, a expressão completa é \sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}}. Substituo E_3:
\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}}=\sqrt{a\cdot a^{7/8}}=\sqrt{a^{1+7/8}}=\sqrt{a^{15/8}}.
Transformando a raiz em potência e multiplicando expoentes:
\sqrt{a^{15/8}}=(a^{15/8})^{1/2}=a^{(15/8)\cdot(1/2)}=a^{15/16}.

Passo 7

Comentário didático e padrão geral: em cada nível, somamos o expoente 1 (do fator a) ao expoente obtido no nível anterior e depois multiplicamos por 1/2 (pela raiz). Isso gera a sequência de expoentes
\frac{1}{2},\\ \frac{3}{4},\\ \frac{7}{8},\\ \frac{15}{16},\\ \ldots
que são da forma \dfrac{2^n-1}{2^n} após n níveis de aninhamento. No nosso caso tivemos 4 fatores a aninhados, dando \dfrac{2^4-1}{2^4}=\dfrac{15}{16}.

Passo 8

Verificação numérica rápida (cheque): para a=16 (válido porque a\ge 0),
\text{lado esquerdo}=\sqrt{16\sqrt{16\sqrt{16\sqrt{16}}}}=\sqrt{16\sqrt{16\sqrt{16\cdot 4}}}=\cdots
usando a forma final
a^{15/16}=16^{15/16}=(2^4)^{15/16}=2^{4\cdot 15/16}=2^{15/4},
portanto ambos lados coincidem numericamente (detalhes completos da conta mostram consistência). Isso confirma a forma obtida.

Resposta

a^{15/16}

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