Racionalize as expressões
j) \frac{4 x-8 y}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}

Passo 1

O enunciado pede para racionalizar a expressão
\frac{4x-8y}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}.
Isto significa: eliminar a raiz do denominador, ou seja, obter uma forma equivalente em que o denominador não contenha \sqrt[3]{\cdot}. As únicas informações dadas são os símbolos x e y (assume‑se que x\neq y para que o denominador não seja zero).

Passo 2

Uma ideia padrão para raízes cúbicas é usar a fatoração da diferença de cubos. Para ficar mais claro, faço a substituição auxiliar
a=\sqrt[3]{x},\qquad b=\sqrt[3]{y},
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a^3=x,\qquad b^3=y,
e o denominador vira a-b. A identidade algébrica útil é a diferença de cubos:
a^3-b^3=(a-b)\bigl(a^2+ab+b^2\bigr).
Vou justificar rapidamente essa identidade multiplicando o lado direito: calcule (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3. Pronto: a identidade vale.

Passo 3

Para eliminar o a-b no denominador, multiplico numerador e denominador por \bigl(a^2+ab+b^2\bigr). Isso é uma multiplicação por 1, logo não altera o valor da expressão, mas transforma o denominador usando a identidade acima:
\frac{4x-8y}{a-b}\cdot\frac{a^2+ab+b^2}{a^2+ab+b^2} =\frac{(4x-8y)\bigl(a^2+ab+b^2\bigr)}{(a-b)\bigl(a^2+ab+b^2\bigr)} =\frac{(4x-8y)\bigl(a^2+ab+b^2\bigr)}{a^3-b^3}.

Passo 4

Agora volto das letras auxiliares para x,y. Como a^3=x e b^3=y, o denominador a^3-b^3 é exatamente x-y. Além disso a^2=\sqrt[3]{x^2}, ab=\sqrt[3]{xy} e b^2=\sqrt[3]{y^2}. Assim a expressão racionalizada fica
\frac{(4x-8y)\bigl(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}\bigr)}{x-y}.
Podemos, para ficar mais compacto, fatorar 4 no numerador:
\frac{4(x-2y)\bigl(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}\bigr)}{x-y}.

Passo 5

Verificação rápida: o denominador agora é x-y, que não contém raízes cúbicas, portanto a racionalização foi bem-sucedida. Em geral não é possível cancelar x-y com o restante do numerador sem informação adicional sobre x e y, então a forma obtida é a mais simples possível que elimina a raiz do denominador.

Resposta

\frac{4(x-2y)\bigl(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}\bigr)}{x-y}

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