Racionalize as expressões
j)
j)
Passo 1
O enunciado pede para racionalizar a expressão
Isto significa: eliminar a raiz do denominador, ou seja, obter uma forma equivalente em que o denominador não contenha
. As únicas informações dadas são os símbolos
e
(assume‑se que
para que o denominador não seja zero).
Passo 2
Uma ideia padrão para raízes cúbicas é usar a fatoração da diferença de cubos. Para ficar mais claro, faço a substituição auxiliar
logo
e o denominador vira
. A identidade algébrica útil é a diferença de cubos:
Vou justificar rapidamente essa identidade multiplicando o lado direito: calcule
. Pronto: a identidade vale.
Passo 3
Para eliminar o
no denominador, multiplico numerador e denominador por
. Isso é uma multiplicação por
, logo não altera o valor da expressão, mas transforma o denominador usando a identidade acima:
Passo 4
Agora volto das letras auxiliares para
. Como
e
, o denominador
é exatamente
. Além disso
,
e
. Assim a expressão racionalizada fica
Podemos, para ficar mais compacto, fatorar
no numerador:
Passo 5
Verificação rápida: o denominador agora é
, que não contém raízes cúbicas, portanto a racionalização foi bem-sucedida. Em geral não é possível cancelar
com o restante do numerador sem informação adicional sobre
e
, então a forma obtida é a mais simples possível que elimina a raiz do denominador.