Se v é um campo de velocidade de um fluido com densidade rho(x, y, z), então
integral duplaS rho v cdot d S
é a vazão através de S. Encontre a vazão para dentro do cilindro x^2+y^2=4,0 <= z <= 1, se o fluido tem densidade 870 kg / m^3 e escoa com velocidade v=z i+y^2 j+x^2 k, onde x, y e z são medidos em metros e as componentes de v em metros por segundo.

Passo 1

O enunciado pede a vazão de massa entrando num volume cilíndrico de raio 2 m e altura 1 m, com densidade constante rho=870,kg/m^3 e velocidade v = z, i + y^2, j + x^2, k. O que vamos usar é o Teorema da Divergência (Gauss), que diz que o fluxo de massa para fora é integral duplaS rho vcdot d S = integral triplaV rho,nablacdot v,dV. Como eles querem o fluxo para dentro, no final basta trocar o sinal.

Passo 2

Para aplicar o Teorema da Divergência, primeiro calculamos nablacdot v. Em coordenadas cartesianas:
nablacdot v = partialpartial x(z) + partialpartial y(y^2) + partialpartial z(x^2) = 0 + 2y + 0 = 2y

Passo 3

O fluxo de massa para fora do cilindro é
Phiout = integral triplaV rho,nablacdot v,dV = rho integral triplaV 2y,dV

Passo 4

Como o volume V é o cilindro x^2+y^2<=4, 0<= z<=1, a integral tridimensional se separa e a parte em y é
integral triplaV 2y,dV = 2 integralz=0^1dz integralx^2+y^2<=4 y,dA

Passo 5

Mas pela simetria do disco x^2+y^2<=4, a integral de y sobre a área é zero. Portanto
Phiout = 870times 0 = 0

Passo 6

Como eles querem a vazão para dentro, basta trocar o sinal: a vazão de massa para dentro é zero.

Resposta

0 kg/s

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