Se
é um campo de velocidade de um fluido com densidade
, então
é a vazão através de
. Encontre a vazão para dentro do cilindro
, se o fluido tem densidade
e escoa com velocidade
, onde
e
são medidos em metros e as componentes de
em metros por segundo.
Passo 1
O enunciado pede a vazão de massa entrando num volume cilíndrico de raio 2 m e altura 1 m, com densidade constante
e velocidade
. O que vamos usar é o Teorema da Divergência (Gauss), que diz que o fluxo de massa para fora é
. Como eles querem o fluxo para dentro, no final basta trocar o sinal.
Passo 2
Para aplicar o Teorema da Divergência, primeiro calculamos
. Em coordenadas cartesianas:
Passo 3
O fluxo de massa para fora do cilindro é
Passo 4
Como o volume
é o cilindro
,
, a integral tridimensional se separa e a parte em
é
Passo 5
Mas pela simetria do disco
, a integral de
sobre a área é zero. Portanto
Passo 6
Como eles querem a vazão para dentro, basta trocar o sinal: a vazão de massa para dentro é zero.
Resposta
0 kg/s