Determine, mas não calcule, a integral dupla da área da superfície dada.
(a) z=1 /(1+x^2+y^2), 0 <= x <= 6,0 <= y <= 4.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície definida pelo gráfico da função z = f(x,y) = 11+x^2+y^2 sobre o retângulo R = [0,6]times[0,4]. O conteúdo é cálculo de área de superfície de uma função de duas variáveis e vamos usar a fórmula dS = raiz1 + fx^2 + fy^2,dA.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f(x,y) = (1+x^2+y^2)^-1. Aplicando a regra da cadeia, temos
fx = -1,(1+x^2+y^2)^-2cdot 2x = -2x(1+x^2+y^2)^2,
e de modo análogo
fy = -2y(1+x^2+y^2)^2

Passo 3

Agora montamos o elemento de área de superfície:
dS = raiz1 + fx^2 + fy^2,dA = raiz1 + 4x^2(1+x^2+y^2)^4 + 4y^2(1+x^2+y^2)^4,dx,dy
Podemos combinar os termos dentro da raiz:
raiz1 + 4(x^2+y^2)(1+x^2+y^2)^4

Passo 4

Por fim, integramos esse elemento sobre R sem efetuar a conta, ficando a integral dupla da área da superfície:

Resposta

integral0^6!integral0^4 raiz1 + 4(x^2+y^2)(1+x^2+y^2)^4,dy,dx

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