O campo de velocidade de um fluido é F=x i+z j+y k. Encontre o escoamento ao longo da hélice r(t)=(cos t) i+( sent ) j+t k ; 0 <= t <= pi2.
Fórmula: Escoamento =integralC F cdot d r
a. -pi2+12
b. pi2-12
c. pi2
d. pi-12
Limpar minha escolha

Passo 1

O problema pede calcular o escoamento, isto é a integral de linha integralC vec Fcdot dvec r do campo de velocidade vec F = x,vec i + z,vec j + y,vec k ao longo da hélice parametrizada por vec r(t) = (cos t),vec i + (sen t),vec j + t,vec k, para 0 <= t <= pi/2. Vamos usar parametrização de curva, derivada vec r'(t), produto escalar e técnicas de integração.

Passo 2

A partir da parametrização, calculamos a derivada da curva e o campo ao longo da mesma:
vec r'(t)=(-sen t),vec i + (cos t),vec j + 1,vec k,
vec F(vec r(t))=(cos t),vec i + t,vec j + (sen t),vec k
O produto escalar dos dois vetores dá
vec F(vec r(t))cdotvec r'(t) = (cos t)(-sen t) + t(cos t) + (sen t)(1) = -cos t,sen t + tcos t + sen t

Passo 3

Portanto, o escoamento é
integralCvec Fcdot dvec r = integral0^pi/2l(-cos t,sen t + tcos t + sen tr),dt

Passo 4

Agora resolvemos cada integral separadamente:
  1. por partes: seja , então , , resultando em

Passo 5

Somando os resultados: -tfrac12 + (tfracpi2-1) + 1 = tfracpi2-tfrac12.

Resposta

tfracpi2 - tfrac12

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