Um cardióide é uma curva que pode ser produzida como o caminho de um dado ponto de um círculo, que rola sem cair ao redor de um outro círculo, que é fixo mas que tem o mesmo raio do círculo rolante.
(a) As coordenadas de
são
(b) Pelas fórmulas do ângulo doble
(c)
Rptas:
.
(a) As coordenadas de
(b) Pelas fórmulas do ângulo doble
(c)
Passo 1
Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A questão fala sobre uma cardióide, que é uma curva especial gerada pelo caminho de um ponto em um círculo que rola sem deslizar ao redor de outro círculo do mesmo raio. Aqui, precisamos encontrar as coordenadas do ponto
, expressões envolvendo seno e cosseno, e finalmente, relacionar
e
para chegar a uma equação que descreve a curva. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de
. Imagine que temos dois círculos com o mesmo raio, e um está rolando ao redor do outro sem deslizar. O ponto
está nele, então sua posição depende do ângulo
que o círculo rolante gira.
Sabemos que, quando um círculo rola sem deslizar, a distância percorrida pelo ponto de contato é igual ao comprimento do arco. Com isso, podemos relacionar o deslocamento horizontal e vertical de
usando cosseno e seno.
As coordenadas de
serão dadas por:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão para
usando as fórmulas de ângulo duplo. A fórmula do seno do ângulo duplo é:
Substituindo isso na expressão de
:
Passo 4
Para a parte (b), queremos simplificar a expressão de
. Observando a expressão original:
Essa forma já está simplificada e mostra uma relação direta entre
e
.
Passo 5
Finalmente, para a parte (c), precisamos relacionar
e
de forma que possamos eliminar o parâmetro
e obter uma equação que descreva a cardióide de forma geral.
Começamos calculando
:
Fatorando
:
Sabemos que
, então:
Além disso, podemos definir o raio
da cardióide como:
Resposta
As coordenadas de
são:
Simplificando:
E a relação entre
e
é:
Além disso, o raio
da cardióide é: