Um cardióide é uma curva que pode ser produzida como o caminho de um dado ponto de um círculo, que rola sem cair ao redor de um outro círculo, que é fixo mas que tem o mesmo raio do círculo rolante.
(a) As coordenadas de P são x=-1+2 cos theta-cos 2 theta, y=
(b) Pelas fórmulas do ângulo doble x=2 cos theta(1-cos theta), y=
(c) x^2+y^2=
Rptas: x^2+y^2=4(1-cos theta)^2 ; y=2 sin theta-sin 2 theta=2 sin theta(1-cos theta) ; r=2(1-cos theta).

Passo 1

Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A questão fala sobre uma cardióide, que é uma curva especial gerada pelo caminho de um ponto em um círculo que rola sem deslizar ao redor de outro círculo do mesmo raio. Aqui, precisamos encontrar as coordenadas do ponto P , expressões envolvendo seno e cosseno, e finalmente, relacionar x e y para chegar a uma equação que descreve a curva. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas de P . Imagine que temos dois círculos com o mesmo raio, e um está rolando ao redor do outro sem deslizar. O ponto P está nele, então sua posição depende do ângulo theta que o círculo rolante gira.
Sabemos que, quando um círculo rola sem deslizar, a distância percorrida pelo ponto de contato é igual ao comprimento do arco. Com isso, podemos relacionar o deslocamento horizontal e vertical de P usando cosseno e seno.
As coordenadas de P serão dadas por:
x = -1 + 2 cos theta - cos 2theta
y = 2 sin theta - sin 2theta

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão para y usando as fórmulas de ângulo duplo. A fórmula do seno do ângulo duplo é:
sin 2theta = 2 sin theta cos theta
Substituindo isso na expressão de y :
y = 2 sin theta - 2 sin theta cos theta = 2 sin theta (1 - cos theta)

Passo 4

Para a parte (b), queremos simplificar a expressão de x . Observando a expressão original:
x = 2 cos theta (1 - cos theta)
Essa forma já está simplificada e mostra uma relação direta entre x e theta .

Passo 5

Finalmente, para a parte (c), precisamos relacionar x e y de forma que possamos eliminar o parâmetro theta e obter uma equação que descreva a cardióide de forma geral.
Começamos calculando x^2 + y^2 :
x^2 + y^2 = [2 cos theta (1 - cos theta)]^2 + [2 sin theta (1 - cos theta)]^2
Fatorando (1 - cos theta)^2 :
x^2 + y^2 = 4 (1 - cos theta)^2 [cos^2 theta + sin^2 theta]
Sabemos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1 , então:
x^2 + y^2 = 4 (1 - cos theta)^2
Além disso, podemos definir o raio r da cardióide como:
r = 2 (1 - cos theta)

Resposta

As coordenadas de P são:
x = -1 + 2 cos theta - cos 2theta, y = 2 sin theta - sin 2theta
Simplificando:
x = 2 cos theta (1 - cos theta), y = 2 sin theta (1 - cos theta)
E a relação entre x e y é:
x^2 + y^2 = 4 (1 - cos theta)^2
Além disso, o raio r da cardióide é:
r = 2 (1 - cos theta)

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