Para o campo de velocidade
\mathbf{u}=5 x_{1} \hat{e}_{1}+\left(15 x_{2}+11\right) \hat{e}_{2}+\left(19 t^{2}\right) \hat{e}_{3}, determine:
  • As linhas de trajetória de uma partícula deste escoamento;

Passo 1

O enunciado fornece o campo de velocidade
\mathbf{u}(x,t)=5\,x_{1}\,\hat e_{1}+\bigl(15\,x_{2}+11\bigr)\,\hat e_{2}+\bigl(19\,t^{2}\bigr)\,\hat e_{3}
e pede as linhas de trajetória de uma partícula, isto é, as curvas \mathbf{x}(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t)) que satisfazem a EDO
\frac{d\mathbf{x}}{dt}=\mathbf{u}(\mathbf{x},t).

Passo 2

Escrevemos o sistema de equações para cada componente:
\begin{cases} \dot x_{1}=5\,x_{1},\\[6pt] \dot x_{2}=15\,x_{2}+11,\\[6pt] \dot x_{3}=19\,t^{2}. \end{cases}
Cada equação é independente das outras (exceto pelo tempo em \dot x_{3}), então podemos resolver separadamente.]

Passo 3

Resolver \dot x_{1}=5\,x_{1}.
Esta é uma EDO de variável separável ou de coeficiente constante cuja solução geral é
x_{1}(t)=C_{1}\,e^{5t},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 4

Resolver \dot x_{2}=15\,x_{2}+11.
Usamos fator integrante e^{-15t}:
\frac{d}{dt}\bigl(x_{2}\,e^{-15t}\bigr)=11\,e^{-15t} \quad\Longrightarrow\quad x_{2}\,e^{-15t}=-\frac{11}{15}\,e^{-15t}+C_{2}.
Multiplicando por e^{15t},
x_{2}(t)=C_{2}\,e^{15t}-\frac{11}{15},
com C_{2} constante de integração.

Passo 5

Resolver \dot x_{3}=19\,t^{2}.
Basta integrar em t:
x_{3}(t)=\int 19\,t^{2}\,dt=\frac{19}{3}\,t^{3}+C_{3},
sendo C_{3} a constante de integração.

Resposta

As linhas de trajetória gerais são dadas por
\mathbf{x}(t)=\biggl(C_{1}\,e^{5t},\;C_{2}\,e^{15t}-\tfrac{11}{15},\;\tfrac{19}{3}\,t^{3}+C_{3}\biggr),
onde C_{1}, C_{2} e C_{3}$ são constantes determinadas pela posição inicial da partícula.ãçãí

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