O escoamento em um bocal convergente (Dîmetro de entrada maior que o diâmetro de saída) pode ser aproximado para uma formulação unidimensional \mathbf{u}=u_{1}\left(x_{1}\right). Considera-se um bocal de comprimento L onde a velocidade varia linearmente de \mathbf{u}=v_{0} na entrada para \mathbf{u}=3 v_{0}. Usando o conceito de derivada material:
  • Calcule a aceleração deste escoamento como função de \mathbf{x} :
  • Avalie a aceleração na entrada e na saída para v_{0}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e L=0,25 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento unidimensional num bocal de comprimento L no qual a velocidade varia linearmente de \mathbf{u}=v_{0} na entrada até \mathbf{u}=3v_{0} na saída. O objetivo é usar o conceito de derivada material para achar a aceleração a como função da coordenada x e depois avaliar essa aceleração em x=0 (entrada) e x=L (saída) quando v_{0}=2,m/s e L=0,25,m.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o perfil de velocidade u(x). Como cresce linearmente de v_{0} em x=0 até 3v_{0} em x=L, temos
u(x) = v_{0} + \bigl(3v_{0}-v_{0}\bigr)\,\frac{x}{L} = v_{0}\Bigl(1 + 2\frac{x}{L}\Bigr).

Passo 3

Em escoamento estacionário unidimensional, a aceleração material é
a = \frac{Du}{Dt} = \frac{\partial u}{\partial t} + u\,\frac{\partial u}{\partial x}.
Como \partial u/\partial t=0, fica
a(x) = u(x)\,\frac{du}{dx}.

Passo 4

Calculamos a derivada espacial de u(x):
\frac{du}{dx} = v_{0}\,\frac{d}{dx}\Bigl(1 + 2\frac{x}{L}\Bigr) = \frac{2v_{0}}{L}.
Logo,
a(x) = u(x)\,\frac{2v_{0}}{L} = v_{0}\Bigl(1 + 2\frac{x}{L}\Bigr)\cdot\frac{2v_{0}}{L} = \frac{2v_{0}^{2}}{L}\Bigl(1 + 2\frac{x}{L}\Bigr).

Passo 5

Agora avaliamos em x=0 e x=L com v_{0}=2,m/s e L=0,25,m.
Para x=0:
a(0) = \frac{2\,(2)^{2}}{0,25}\Bigl(1 + 0\Bigr) = \frac{8}{0,25} = 32\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Para x=L:
a(L) = \frac{2\,(2)^{2}}{0,25}\Bigl(1 + 2\cdot\frac{L}{L}\Bigr) = \frac{8}{0,25}\,(1+2) = 32\cdot3 = 96\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

A aceleração ao longo do bocal é
a(x) = \frac{2v_{0}^{2}}{L}\Bigl(1 + 2\frac{x}{L}\Bigr).
Para v_{0}=2,m/s e L=0,25,m obtém-se
a(0)=32\\ \mathrm{m/s^{2}},\qquad a(L)=96\\ \mathrm{m/s^{2}}.

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