Para o campo de velocidade
\mathbf{u}=5 x_{1} \hat{e}_{1}+\left(15 x_{2}+11\right) \hat{e}_{2}+\left(19 t^{2}\right) \hat{e}_{3}, determine:
  • A linha de trajetória de una partícula situada \mathrm{em} \mathrm{x}=(4,6,2) no instante t=3 s;

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade
\mathbf{u}(x,t)=5\,x_{1}\,\hat e_{1}+\bigl(15\,x_{2}+11\bigr)\,\hat e_{2}+\bigl(19\,t^{2}\bigr)\,\hat e_{3}
e pede a linha de trajetória da partícula que, no instante t_{0}=3, está em \bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr)=(4,6,2).
A linha de trajetória é a solução do sistema de EDOs
\frac{d x_{1}}{d t}=5\,x_{1},\quad \frac{d x_{2}}{d t}=15\,x_{2}+11,\quad \frac{d x_{3}}{d t}=19\,t^{2},
com condição inicial x_{i}(3) dada acima.

Passo 2

Para x_{1}(t) temos a EDO separável \dfrac{d x_{1}}{dt}=5\,x_{1}.
A solução geral é
x_{1}(t)=C\,e^{5t}.
Impondo x_{1}(3)=4
4 = C\,e^{15} \quad\Rightarrow\quad C=4\,e^{-15},
então
x_{1}(t)=4\,e^{-15}\,e^{5t} =4\,e^{5(t-3)}.

Passo 3

Para x_{2}(t) temos a EDO linear
\frac{d x_{2}}{dt}-15\,x_{2}=11.
O fator integrante é \mu(t)=e^{-15t}, e
\frac{d}{dt}\bigl(x_{2}\,e^{-15t}\bigr) =11\,e^{-15t} \quad\Rightarrow\quad x_{2}\,e^{-15t} =\int 11\,e^{-15t}\,dt =-\frac{11}{15}e^{-15t}+D.
Assim
x_{2}(t)=D\,e^{15t}-\frac{11}{15}.
Usando x_{2}(3)=6 obtemos
6=D\,e^{45}-\frac{11}{15} \quad\Rightarrow\quad D=\Bigl(6+\tfrac{11}{15}\Bigr)\,e^{-45} =\frac{101}{15}\,e^{-45},
logo
x_{2}(t)=\frac{101}{15}\,e^{15(t-3)}-\frac{11}{15}.

Passo 4

Para x_{3}(t) a EDO é \dfrac{d x_{3}}{dt}=19\,t^{2}.
Basta integrar:
x_{3}(t)=\int 19\,t^{2}\,dt =\frac{19}{3}\,t^{3}+E.
Impondo x_{3}(3)=2
2=\frac{19}{3}\cdot27+E=171+E \quad\Rightarrow\quad E=-169,
portanto
x_{3}(t)=\frac{19}{3}\,t^{3}-169.

Resposta

A linha de trajetória é
\boxed{ \mathbf{x}(t)=\Bigl( 4\,e^{5(t-3)},\; \frac{101}{15}\,e^{15(t-3)}-\frac{11}{15},\; \frac{19}{3}\,t^{3}-169 \Bigr), }
satisfazendo \mathbf{x}(3)=(4,6,2).

Exercícios relacionados