Considere que a potência requerida pelo rotor de um helicóptero em voo reto nivelado, com ângulo de incidência nulo, pode ser estimada, através do coeficiente de potência do eixo do rotor principal C_{P}, por
C_{P}=\frac{k C_{T}^{2}}{2 \mu}+\frac{\sigma C_{D_{o}}}{8}\left(1+4,65 \mu^{2}\right)+\frac{1}{2} \frac{f}{A} \mu^{3}
em que
  • C_{T} é o coeficiente de tração do rotor principal;
  • k é o fator de correção para introduzir perdas não previstas na Teoria de Quantidade de Movimento;
  • \mu é a razão de avanço, dada por \mu=\frac{V}{\Omega R}, sendo V a velocidade à frente, \Omega a rotação do rotor principal e R o raio do disco do rotor principal;
  • \sigma é a solidez do rotor principal;
  • C_{D_{o}} é o coeficiente de arrasto de perfil do rotor principal (constante, por hipótese);
  • f é a área da placa plana equivalente da fuselagem; e
  • A é a área do disco do rotor principal.

Dados:

  • Potência induzida: C_{P_{i}}=\frac{k C_{T}^{2}}{2 \mu};
  • Potência de perfil: C_{P_{o}}=\frac{\sigma C_{D_{o}}}{8}\left(1+4,65 \mu^{2}\right); e
  • Potência parasita: C_{P p}=\frac{1}{2} \frac{f}{A} \mu^{3}.
Diante do exposto, determine:
A velocidade de potência mínima, desprezando a variação da potência de perfil com relação à velocidade.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade de avanço V que minimiza a potência total do rotor em voo nivelado, sabendo que
C_{P}( \mu ) = \underbrace{\frac{k\,C_{T}^{2}}{2\,\mu}}_{C_{P_{i}}} + \underbrace{\frac{\sigma\,C_{D_{o}}}{8}\bigl(1+4,65\,\mu^{2}\bigr)}_{C_{P_{o}}} + \underbrace{\frac{1}{2}\,\frac{f}{A}\,\mu^{3}}_{C_{P_{p}}}
e que devemos desprezar a variação de C_{P_{o}} com \mu, isto é, tratar
C_{P_{o}}\approx \frac{\sigma\,C_{D_{o}}}{8}=\text{constante}.
Vamos então minimizar
C_{P}(\mu)=\frac{k\,C_{T}^{2}}{2\,\mu} + \underbrace{\frac{\sigma\,C_{D_{o}}}{8}}_{\text{const.}} + \frac{1}{2}\,\frac{f}{A}\,\mu^{3}
em função de \mu.

Passo 2

Como C_{P_{o}} é constante, a parte que varia com \mu é
C_{P}(\mu)=\frac{k\,C_{T}^{2}}{2\,\mu} + \frac{1}{2}\,\frac{f}{A}\,\mu^{3}.
Para achar o mínimo, calculamos a derivada em relação a \mu e igualamos a zero:
\frac{\mathrm{d}C_{P}}{\mathrm{d}\mu} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mu}\Bigl(\tfrac{k\,C_{T}^{2}}{2\,\mu}\Bigr) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mu}\Bigl(\tfrac{1}{2}\,\tfrac{f}{A}\,\mu^{3}\Bigr).

Passo 3

Calculando cada derivada:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mu}\Bigl(\tfrac{k\,C_{T}^{2}}{2\,\mu}\Bigr) = -\,\frac{k\,C_{T}^{2}}{2\,\mu^{2}}, \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mu}\Bigl(\tfrac{1}{2}\,\tfrac{f}{A}\,\mu^{3}\Bigr) = \tfrac{1}{2}\,\tfrac{f}{A}\,3\,\mu^{2} = \frac{3}{2}\,\frac{f}{A}\,\mu^{2}.
Logo,
\frac{\mathrm{d}C_{P}}{\mathrm{d}\mu} = -\,\frac{k\,C_{T}^{2}}{2\,\mu^{2}} + \frac{3}{2}\,\frac{f}{A}\,\mu^{2} \stackrel{!}{=}0.

Passo 4

Isolando termos,
\frac{k\,C_{T}^{2}}{2\,\mu^{2}} = \frac{3}{2}\,\frac{f}{A}\,\mu^{2} \quad\Longrightarrow\quad k\,C_{T}^{2} = 3\,\frac{f}{A}\,\mu^{4} \quad\Longrightarrow\quad \mu^{4} = \frac{k\,C_{T}^{2}\,A}{3\,f}.
Tomando a quarta raiz,
\mu_{\text{opt}} = \Bigl(\frac{k\,C_{T}^{2}\,A}{3\,f}\Bigr)^{\!1/4}.

Passo 5

Como \mu = \dfrac{V}{\Omega\,R}, temos a velocidade de potência mínima
V_{\min} = \mu_{\text{opt}}\,\Omega\,R = \Omega\,R\, \Bigl(\frac{k\,C_{T}^{2}\,A}{3\,f}\Bigr)^{\!1/4}.

Resposta

V_{\min} = \Omega\,R\, \Bigl(\frac{k\,C_{T}^{2}\,A}{3\,f}\Bigr)^{\!1/4}.

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