Considere uma aleta plana horizontal fabricada em aço-carbono não ligado ( k=57 W /(m cdot K), varepsilon=0,5 ), com 5 mm de espessura e 100 mm de comprimento. A base da aleta é mantida a 100^circ C, enquanto o ar ambiente quiescente e a vizinhança se encontram a 25^circ C. Admita que a extremidade da aleta seja adiabática e estime a taxa de transferência de calor na aleta por unidade de largura, qa^prime. Use uma temperatura média de 80^circ C para a superfície da aleta para estimar o coeficiente de convecção natural e o coeficiente de transferência por radiação linearizado. Qual a sensibilidade desta sua estimativa em relação à escolha da temperatura média para a superfície da aleta?

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: a gente tem uma aleta plana, de aço-carbono (k=57 W/m·K, ε=0,5), espessura t=5 mm e comprimento L=100 mm, com a base a 100 °C e o ar parado a 25 °C. A ponta da aleta é adiabática. Queremos achar a taxa de calor por unidade de largura, , levando em conta convecção natural e radiação (linearizada), usando uma temperatura média de superfície de 80 °C.
Matéria envolvida: transferência de calor em aletas (equação difusiva em regime permanente), convecção natural em placas horizontais e radiação linearizada. Vamos precisar:
  • estimar o coeficiente de convecção via correlações de convecção natural em placas horizontais (superfície voltada pra cima e pra baixo);
  • calcular o coeficiente de radiação linearizado ;
  • montar o parâmetro da aleta , achar eficiência/taxa de calor usando solução analítica com ponta adiabática.

Passo 2

Estimando o coeficiente de convecção natural Tf = Ts + Tinfty2 = 80+252 = 52,5 ^circ C ;l(approx 325,5, Kr) :
  1. Escolhemos a temperatura de filme para as propriedades do ar: RaL = g,beta,(Ts - Tinfty),L^3nu,alpha approx 4,0times10^6 (betaapprox1/Tf,;nuapprox1,88times10^-5,;alphaapprox2,21times10^-5)
  2. Calculamos o número de Rayleigh baseado em Nurm topo = 0,54,RaL^1/4 ;longrightarrow; hrm topo = Nurm topo,krm arL approx 6,8 W/m^2K m: Nurm fundo = 0,27,RaL^1/4 ;longrightarrow; hrm fundo approx 3,4 W/m^2K
  3. Para placa quente voltada pra cima (superfície “topo”): h = hrm topo + hrm fundo2 approx 5,1 W/m^2K
  4. Para placa quente voltada pra baixo (superfície “fundo”):
  5. Valor médio de convecção:

Passo 3

Coeficiente de radiação linearizado qrm rad = varepsilon,sigma,(Ts^4 - Tinfty^4) approx hr,(Ts - Tinfty), hr = varepsilon,sigma,(Ts^2 + Tinfty^2),(Ts + Tinfty) , usando
hr approx 0,5cdot5,67times10^-8,(353^2+298^2),(353+298) approx 3,9 W/m^2K
Com , e :

Passo 4

Coeficiente total de troca de calor na aleta:
hrm total = h + hr approx 5,1 + 3,9 = 9,0 W/m^2K

Passo 5

Agora os parâmetros da aleta (por unidade de largura, largura = 1 m):
  • Seção transversal m = raizhrm total,Pk,A = raiz9,0cdot257cdot0,005 approx 7,95 m^-1 .
  • Perímetro molhado q'a = raizhrm total,P,k,A,l(Tb - Tinftyr),tanh(m,L) .
  • Parâmetro q'a = raiz9,0cdot2cdot57cdot0,005;75;tanh(7,95cdot0,1) approx 2,27cdot75cdot0,66 approx 113 W/m :
Como a ponta é adiabática, a solução analítica dá
Substituindo K, m:

Passo 6

Sensibilidade à escolha de :
se a gente usasse, digamos, , refazendo , e dá algo em torno de 108 W/m (≃5 % menor). Ou seja, daria uns 5 % de diferença trocando a temperatura média em ±10 °C.

Resposta

A taxa de transferência de calor por unidade de largura é aproximadamente
q'a approx 113 W/m,
e a estimativa varia só uns 5 % se mudarmos a temperatura média da aleta em cerca de ±10 °C.

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