Um campo de velocidades é proposto como sendo:
e
a) Esse fluido é incompressível?
b) Se o fluido for incompressível, encontre o gradiente de pressão
, assumindo o eixo z na vertical
a) Esse fluido é incompressível?
b) Se o fluido for incompressível, encontre o gradiente de pressão
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um campo de velocidades em 2D (com
):
Conteúdo:
1) Checar se é um fluido incompressível (divergência nula).
2) Se for, usar a equação de Euler para fluido ideal e estático no tempo (sem viscosidade), que em regime estacionário é
onde
porque o eixo
é vertical pra cima.
Passo 2
Primeiro a divergência:
Calculemos
$$\frac{\partial}{\partial x}!\Bigl(\frac{10y}{r^2}\Bigr)
=10y\cdot\Bigl(-\frac{2x}{r^4}\Bigr)
=-\frac{20xy}{r^4},$$
onde
. Somando dá zero:
Logo o fluido é incompressível.
Passo 3
Agora a gente usa Euler estacionário:
Precisamos de
$$(\mathbf u\cdot\nabla)u_x
=u_x,\partial_xu_x+u_y,\partial_yu_x
=-\frac{100,x}{(x2+y2)^2},$$
e já sabemos
Então
Então
$$(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf u
=\Bigl(-\tfrac{100,x}{r4},,-\tfrac{100,y}{r4},,0\Bigr).
\nabla p
=\rho\Bigl(\tfrac{100,x}{r4},,\tfrac{100,y}{r4},, -g\Bigr).$$
Resposta
a) Sim, o fluxo é incompressível (
).
b)
b)
$$\boxed{\nabla p
=\rho\Biggl(\frac{100,x}{(x2+y2)2},;\frac{100,y}{(x2+y2)2},;-,g\Biggr).}$$