Um campo de velocidades é proposto como sendo: ux=10 y /(x^2+y^2) ; uy=-10 x /(x^2+y^2) e uz=0
a) Esse fluido é incompressível?
b) Se o fluido for incompressível, encontre o gradiente de pressão nabla p, assumindo o eixo z na vertical

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um campo de velocidades em 2D (com uz=0):
ux=10,yx^2+y^2, uy=-10,xx^2+y^2
Conteúdo:
1) Checar se é um fluido incompressível (divergência nula).
2) Se for, usar a equação de Euler para fluido ideal e estático no tempo (sem viscosidade), que em regime estacionário é
rho,( ucdotnabla) u=-nabla p+rho, g,
onde g=(0,0,-g) porque o eixo z é vertical pra cima.

Passo 2

Primeiro a divergência:
nablacdot u=partial uxpartial x+partial uypartial y
Calculemos
$$\frac{\partial}{\partial x}!\Bigl(\frac{10y}{r^2}\Bigr)
=10y\cdot\Bigl(-\frac{2x}{r^4}\Bigr)
=-\frac{20xy}{r^4},$$
partialpartial x!l(10yr^2r) =10ycdotl(-2xr^4r) =-20xyr^4,
onde partialpartial y!l(-10xr^2r) =-10xcdotl(-2yr^4r) =20xyr^4,. Somando dá zero:
r^2=x^2+y^2
Logo o fluido é incompressível.

Passo 3

Agora a gente usa Euler estacionário:
nabla p=-rho,( ucdotnabla) u+rho, g
Precisamos de ( ucdotnabla) u. Em componentes achamos
$$(\mathbf u\cdot\nabla)u_x
=u_x,\partial_xu_x+u_y,\partial_yu_x
=-\frac{100,x}{(x2+y2)^2},$$
( ucdotnabla)ux =ux,partialxux+uy,partialyux =-100,x(x^2+y^2)^2,
e já sabemos ( ucdotnabla)uy =ux,partialxuy+uy,partialyuy =-100,y(x^2+y^2)^2,
Então
$$(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf u
=\Bigl(-\tfrac{100,x}{r4},,-\tfrac{100,y}{r4},,0\Bigr). uz=0implies( ucdotnabla)uz=0\nabla p
=\rho\Bigl(\tfrac{100,x}{r4},,\tfrac{100,y}{r4},, -g\Bigr).$$

Resposta

a) Sim, o fluxo é incompressível ( nablacdot u=0).
b)
$$\boxed{\nabla p
=\rho\Biggl(\frac{100,x}{(x2+y2)2},;\frac{100,y}{(x2+y2)2},;-,g\Biggr).}$$

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