Uma bobina toroidal é constituída por N espiras rectangulares enroladas em torno de um núcleo de material magnético de permeabilidade relativa \mu_{r}. O toróide tem raio interno a, raio externo b e altura h. A bobina é percorrida por uma corrente I.
a) Determine os campos \vec{H}, \vec{B} e \vec{M} em todo o espaço.
b) Obtenha a expressão da indutância da bobina e calcule o seu valor para a=10 \mathrm{~mm}, b=20 \mathrm{~mm}, h=10 \mathrm{~mm}, N=500 e \mu_{r}=10.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. Determinar os campos \vec{H}, \vec{B} e \vec{M} em todo o espaço para uma bobina toroidal com N espiras rectangulares, núcleo magnético de permeabilidade relativa \mu_{r}, raio interno a, raio externo b, altura h e percorrida por corrente I.
  2. Obter a expressão da indutância L da bobina e calcular o seu valor para os dados numéricos \,a=10\\ \mathrm{mm},\\ b=20\\ \mathrm{mm},\\ h=10\\ \mathrm{mm},\\ N=500,\\ \mu_{r}=10.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Número de espiras: \,N.
  • Corrente por espira: \,I.
  • Núcleo magnético linear com permeabilidade relativa \,\mu_{r}.
  • Geometria do toro: raio interno \,a, raio externo \,b e altura (espessura axial) \,h.
  • A seção transversal é retangular (base radial de b-a e altura h).
  • Valores numéricos: \,a=10\\ \mathrm{mm}=0{,}01\\ \mathrm{m},\\ b=20\\ \mathrm{mm}=0{,}02\\ \mathrm{m},\\ h=10\\ \mathrm{mm}=0{,}01\\ \mathrm{m},\\ N=500,\\ \mu_{r}=10.

Passo 2

Entendimento físico e simplificações que usaremos (explicação didática):
  • Vamos usar a Lei de Ampère na forma integral: \displaystyle \oint \vec{H}\cdot d\vec{\ell}=I_{\text{livre,\,enc}}, onde I_{\text{livre,\,enc}} é a corrente livre total atravessando a superfície limitada pelo caminho de integração. Isso fornece \vec{H} para simetrias azimutais.
  • Num toroide ideal bem enrolado e com núcleo contínuo, o campo magnético está confinado no núcleo (região entre r=a e r=b); fora dessa região o campo resultante é aproximadamente zero. Vou explicar e aplicar isso passo a passo.
  • Para meio magnético linear, as relações constitutivas são: \vec{B}=\mu_0(\vec{H}+\vec{M}),\qquad \vec{M}=\chi_m\vec{H},\qquad \mu_r=1+\chi_m,onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo e \chi_m a suscetibilidade magnética. Assim, para meio linear \vec{B}=\mu_0\mu_r\vec{H} e \vec{M}=(\mu_r-1)\vec{H}.
  • Coordenadas: usaremos coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z) com o eixo z passando pelo centro do toroide; o campo será na direção azimutal \hat{\boldsymbol{\varphi}} (circundando o eixo).

Passo 3

Aplicação da Lei de Ampère para obter \vec{H}:
  • Escolho um caminho amperiano circular de raio \,r centrado no eixo do toroide; o caminho tem comprimento 2\pi r e a simetria garante \vec{H}=H_{\varphi}(r)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} constante ao longo desse caminho.
  • Agora, qual é a corrente livre encerrada por esse caminho?
    • Se a<r<b (o caminho passa pelo interior do núcleo), ele envolve todas as N espiras que passam por dentro do laço, logo I_{\text{livre,enc}}=N I.
    • Se r<a (dentro do buraco central) ou r>b (fora do toro), o laço não engloba corrente líquida livre atravessando a superfície escolhida — para um toroide ideal a corrente encerrada é zero — portanto I_{\text{livre,enc}}=0.
  • Aplicando Ampère: \oint \vec{H}\cdot d\vec{\ell}=H_{\varphi}(r)\,2\pi r = I_{\text{livre,enc}}.Assim obtemos
    • Para a<r<b: H_{\varphi}(r)=\frac{N I}{2\pi r}.
    • Para r<a ou r>b: H_{\varphi}(r)=0.
  • Em forma vetorial (usando \hat{\boldsymbol{\varphi}} como direção): \vec{H}(r)= \begin{cases} \displaystyle \frac{N I}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}, & a<r<b,\\[6pt] \displaystyle \mathbf{0}, & r<a\\ \text{ou}\\ r>b. \end{cases}]

Passo 4

Comentário didático sobre a razão física de H=0 fora do núcleo:
  • Um toroide é como um solenoide fechado sobre si mesmo; as linhas de corrente ficam “fechadas” no próprio toro. Para um laço amperiano externo, as contribuições de corrente que atravessam a superfície fechada somam-se a zero (cada fio que sai atravessa a superfície uma vez e volta a atravessá-la no sentido oposto), por isso o campo fora é (idealmente) zero. Em prática, existe algum vazamento de campo (fringing), mas a formulação acima é a ideal e é a usada em problemas de prova.

Passo 5

Cálculo de \vec{B}\) usando relação material (explicação da fórmula): - Para meio linear isotrópico \(\vec{B}=\mu_0\mu_r\vec{H}\). Aqui \(\mu_0\) é a permeabilidade do vácuo (\(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\)) e \(\mu_r\) é a dada. - Logo: \[\vec{B}(r)= \begin{cases} \displaystyle \mu_0\mu_r\frac{N I}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}, & a<r<b,\\[6pt] \displaystyle \mathbf{0}, & r<a\\ \text{ou}\\ r>b. \end{cases}
  • Observação pedagógica: \vec{B}\] tem as mesmas direções de \(\vec{H} (aqui ambas em \hat{\boldsymbol{\varphi}}), apenas escalares multiplicativos diferentes devido ao material.]

Passo 6

Cálculo de \vec{M}\) (magnetização) e explicação: - A magnetização relaciona-se por \(\vec{M}=\chi_m\vec{H}\) com \(\chi_m=\mu_r-1\). - Portanto: \[\vec{M}(r)= \begin{cases} \displaystyle (\mu_r-1)\frac{N I}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}, & a<r<b,\\[6pt] \displaystyle \mathbf{0}, & r<a\\ \text{ou}\\ r>b. \end{cases}
  • Breve comentário: \vec{M}\] mede o momento magnético por unidade de volume produzido pelo material magnético polarizado pelo campo \(\vec{H}.]

Passo 7

Preparação para calcular a indutância L:
  • Definição prática que usaremos: a indutância da bobina é L=\frac{N\Phi}{I},onde \Phi é o fluxo magnético total que atravessa uma espira (fluxo através da seção transversal do núcleo).
  • O fluxo por espira é obtido integrando B sobre a área da secção transversal do núcleo: a área elementar vale dA = h\,dr (altura h ao longo de z, largura radial dr), e a normal à área é \hat{\boldsymbol{\varphi}}, que é a direção de \vec{B}. Assim \Phi=\int_{A} \vec{B}\cdot d\vec{A}=\int_{r=a}^{r=b} B_{\varphi}(r)\,h\,dr.

Passo 8

Cálculo do fluxo \Phi e da indutância L passo a passo:
  • Substituindo B_{\varphi}(r)=\mu_0\mu_r\frac{N I}{2\pi r}: \Phi=\int_{a}^{b} \mu_0\mu_r\frac{N I}{2\pi r}\,h\,dr =\mu_0\mu_r\frac{N I h}{2\pi}\int_{a}^{b}\frac{1}{r}\,dr.
  • A integral \int_{a}^{b}\frac{1}{r}\,dr=\ln\!\bigg(\frac{b}{a}\bigg).
  • Logo: \Phi=\mu_0\mu_r\frac{N I h}{2\pi}\ln\!\bigg(\frac{b}{a}\bigg).
  • A ligação de fluxo (flux linkage) para N espiras é \Lambda=N\Phi, então a indutância é L=\frac{\Lambda}{I}=\frac{N\Phi}{I}=\mu_0\mu_r\frac{N^{2} h}{2\pi}\ln\!\bigg(\frac{b}{a}\bigg).
  • Observação: essa expressão assume que todo o fluxo gerado pela corrente está confinado no núcleo (ou seja, despreza vazamento). Para um núcleo compacto e muito permeável essa é uma boa aproximação.

Passo 9

Cálculo numérico de L com os valores dados (passo a passo aritmético):
  • Valores numéricos convertidos para SI: a=0{,}01\\ \mathrm{m},\quad b=0{,}02\\ \mathrm{m},\quad h=0{,}01\\ \mathrm{m},\quad N=500,\quad \mu_r=10.
  • Simplificação útil: \displaystyle \frac{\mu_0}{2\pi}=\frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}=2\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • Então L=2\times10^{-7}\,\mu_r\,N^{2} h \ln\!\bigg(\frac{b}{a}\bigg).
  • Substituindo: L=2\times10^{-7}\cdot 10\cdot(500)^{2}\cdot 0{,}01\cdot\ln(2).
  • Calcule passo a passo: (500)^{2}=250000,
2\times10^{-7}\cdot 10=2\times10^{-6},
2\times10^{-6}\cdot 250000=0{,}5,
0{,}5\cdot 0{,}01 =0{,}005,
\ln(2)\approx 0{,}693147\Rightarrow L\approx 0{,}005\times 0{,}693147 \approx 0{,}003465735\\ \mathrm{H}.
  • Arredondando de forma razoável: L\approx 3{,}47\times 10^{-3}\\ \mathrm{H}=3{,}47\\ \mathrm{mH}.

Resposta

\displaystyle \vec{H}(r)=\begin{cases} \displaystyle \dfrac{N I}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}, & a<r<b,\\[6pt] \displaystyle \mathbf{0}, & r<a\\ \text{ou}\\ r>b, \end{cases}
\displaystyle \vec{B}(r)=\begin{cases} \displaystyle \mu_0\mu_r\,\dfrac{N I}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}, & a<r<b,\\[6pt] \displaystyle \mathbf{0}, & r<a\\ \text{ou}\\ r>b, \end{cases}
\displaystyle \vec{M}(r)=\begin{cases} \displaystyle (\mu_r-1)\,\dfrac{N I}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}, & a<r<b,\\[6pt] \displaystyle \mathbf{0}, & r<a\\ \text{ou}\\ r>b, \end{cases}
\displaystyle L=\mu_0\mu_r\frac{N^{2} h}{2\pi}\ln\!\bigg(\frac{b}{a}\bigg)\approx 3{,}47\times10^{-3}\\ \mathrm{H}.]

Exercícios relacionados