Uma bobina toroidal é constituída por N espiras rectangulares enroladas em torno de um núcleo de material magnético de permeabilidade relativa \mu_{r}. O toróide tem raio interno a, raio externo b e altura h. A bobina é percorrida por uma corrente I.
a) Determine os campos \vec{H}, \vec{B} e \vec{M} em todo o espaço.
b) Obtenha a expressão da indutância da bobina e calcule o seu valor para a=10 \mathrm{~mm}, b=20 \mathrm{~mm}, h=10 \mathrm{~mm}, N=500 e \mu_{r}=10.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais:
Determinar os campos \vec{H}, \vec{B} e \vec{M} em todo o espaço para uma bobina toroidal com N espiras rectangulares, núcleo magnético de permeabilidade relativa \mu_{r}, raio interno a, raio externo b, altura h e percorrida por corrente I.
Obter a expressão da indutância L da bobina e calcular o seu valor para os dados numéricos \,a=10\\ \mathrm{mm},\\ b=20\\ \mathrm{mm},\\ h=10\\ \mathrm{mm},\\ N=500,\\ \mu_{r}=10.
Informações relevantes dadas no enunciado:
Número de espiras: \,N.
Corrente por espira: \,I.
Núcleo magnético linear com permeabilidade relativa \,\mu_{r}.
Geometria do toro: raio interno \,a, raio externo \,b e altura (espessura axial) \,h.
A seção transversal é retangular (base radial de b-a e altura h).
Entendimento físico e simplificações que usaremos (explicação didática):
Vamos usar a Lei de Ampère na forma integral: \displaystyle \oint \vec{H}\cdot d\vec{\ell}=I_{\text{livre,\,enc}}, onde I_{\text{livre,\,enc}} é a corrente livre total atravessando a superfície limitada pelo caminho de integração. Isso fornece \vec{H} para simetrias azimutais.
Num toroide ideal bem enrolado e com núcleo contínuo, o campo magnético está confinado no núcleo (região entre r=a e r=b); fora dessa região o campo resultante é aproximadamente zero. Vou explicar e aplicar isso passo a passo.
Para meio magnético linear, as relações constitutivas são:\vec{B}=\mu_0(\vec{H}+\vec{M}),\qquad \vec{M}=\chi_m\vec{H},\qquad \mu_r=1+\chi_m,onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo e \chi_m a suscetibilidade magnética. Assim, para meio linear \vec{B}=\mu_0\mu_r\vec{H} e \vec{M}=(\mu_r-1)\vec{H}.
Coordenadas: usaremos coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z) com o eixo z passando pelo centro do toroide; o campo será na direção azimutal \hat{\boldsymbol{\varphi}} (circundando o eixo).
Passo 3
Aplicação da Lei de Ampère para obter \vec{H}:
Escolho um caminho amperiano circular de raio \,r centrado no eixo do toroide; o caminho tem comprimento 2\pi r e a simetria garante \vec{H}=H_{\varphi}(r)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} constante ao longo desse caminho.
Agora, qual é a corrente livre encerrada por esse caminho?
Se a<r<b (o caminho passa pelo interior do núcleo), ele envolve todas as N espiras que passam por dentro do laço, logo I_{\text{livre,enc}}=N I.
Se r<a (dentro do buraco central) ou r>b (fora do toro), o laço não engloba corrente líquida livre atravessando a superfície escolhida — para um toroide ideal a corrente encerrada é zero — portanto I_{\text{livre,enc}}=0.
Aplicando Ampère:\oint \vec{H}\cdot d\vec{\ell}=H_{\varphi}(r)\,2\pi r = I_{\text{livre,enc}}.Assim obtemos
Para a<r<b:H_{\varphi}(r)=\frac{N I}{2\pi r}.
Para r<a ou r>b:H_{\varphi}(r)=0.
Em forma vetorial (usando \hat{\boldsymbol{\varphi}} como direção):\vec{H}(r)= \begin{cases} \displaystyle \frac{N I}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}, & a<r<b,\\[6pt] \displaystyle \mathbf{0}, & r<a\\ \text{ou}\\ r>b. \end{cases}]
Passo 4
Comentário didático sobre a razão física de H=0 fora do núcleo:
Um toroide é como um solenoide fechado sobre si mesmo; as linhas de corrente ficam “fechadas” no próprio toro. Para um laço amperiano externo, as contribuições de corrente que atravessam a superfície fechada somam-se a zero (cada fio que sai atravessa a superfície uma vez e volta a atravessá-la no sentido oposto), por isso o campo fora é (idealmente) zero. Em prática, existe algum vazamento de campo (fringing), mas a formulação acima é a ideal e é a usada em problemas de prova.
Passo 5
Cálculo de \vec{B}\) usando relação material (explicação da fórmula):
- Para meio linear isotrópico \(\vec{B}=\mu_0\mu_r\vec{H}\). Aqui \(\mu_0\) é a permeabilidade do vácuo (\(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\)) e \(\mu_r\) é a dada.
- Logo:
\[\vec{B}(r)= \begin{cases} \displaystyle \mu_0\mu_r\frac{N I}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}, & a<r<b,\\[6pt] \displaystyle \mathbf{0}, & r<a\\ \text{ou}\\ r>b. \end{cases}
Observação pedagógica: \vec{B}\] tem as mesmas direções de \(\vec{H} (aqui ambas em \hat{\boldsymbol{\varphi}}), apenas escalares multiplicativos diferentes devido ao material.]
Passo 6
Cálculo de \vec{M}\) (magnetização) e explicação:
- A magnetização relaciona-se por \(\vec{M}=\chi_m\vec{H}\) com \(\chi_m=\mu_r-1\).
- Portanto:
\[\vec{M}(r)= \begin{cases} \displaystyle (\mu_r-1)\frac{N I}{2\pi r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}, & a<r<b,\\[6pt] \displaystyle \mathbf{0}, & r<a\\ \text{ou}\\ r>b. \end{cases}
Breve comentário: \vec{M}\] mede o momento magnético por unidade de volume produzido pelo material magnético polarizado pelo campo \(\vec{H}.]
Passo 7
Preparação para calcular a indutância L:
Definição prática que usaremos: a indutância da bobina éL=\frac{N\Phi}{I},onde \Phi é o fluxo magnético total que atravessa uma espira (fluxo através da seção transversal do núcleo).
O fluxo por espira é obtido integrando B sobre a área da secção transversal do núcleo: a área elementar vale dA = h\,dr (altura h ao longo de z, largura radial dr), e a normal à área é \hat{\boldsymbol{\varphi}}, que é a direção de \vec{B}. Assim\Phi=\int_{A} \vec{B}\cdot d\vec{A}=\int_{r=a}^{r=b} B_{\varphi}(r)\,h\,dr.
Passo 8
Cálculo do fluxo \Phi e da indutância L passo a passo:
Substituindo B_{\varphi}(r)=\mu_0\mu_r\frac{N I}{2\pi r}:\Phi=\int_{a}^{b} \mu_0\mu_r\frac{N I}{2\pi r}\,h\,dr =\mu_0\mu_r\frac{N I h}{2\pi}\int_{a}^{b}\frac{1}{r}\,dr.
A integral \int_{a}^{b}\frac{1}{r}\,dr=\ln\!\bigg(\frac{b}{a}\bigg).
Logo:\Phi=\mu_0\mu_r\frac{N I h}{2\pi}\ln\!\bigg(\frac{b}{a}\bigg).
A ligação de fluxo (flux linkage) para N espiras é \Lambda=N\Phi, então a indutância éL=\frac{\Lambda}{I}=\frac{N\Phi}{I}=\mu_0\mu_r\frac{N^{2} h}{2\pi}\ln\!\bigg(\frac{b}{a}\bigg).
Observação: essa expressão assume que todo o fluxo gerado pela corrente está confinado no núcleo (ou seja, despreza vazamento). Para um núcleo compacto e muito permeável essa é uma boa aproximação.
Passo 9
Cálculo numérico de L com os valores dados (passo a passo aritmético):