Uma circunferência centrada na origem tem raio 2 e está no plano xy. Determine o vetor unitário, em coordenadas retangulares, que está no plano x y, é tangente à circunferência em ( raiz3, 1,0) e aponta na direção de crescimento dos valores de y.

Passo 1

Tranquilo, vamos lá. O enunciado diz: “Temos uma circunferência de raio 2 centrada na origem, no plano xy. No ponto queremos o vetor unitário que seja tangente à circunferência e que aponte para onde cresce.”
Conteúdo da matéria: operação com vetores no espaço — produto escalar, perpendicularidade, norma e normalização (vetor unitário).

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o vetor raio que vai da origem até o ponto dado. Esse raio é
r = lang<= raiz3,,1,,0rang<=
Ele evidencia a posição do ponto na circunferência.

Passo 3

Agora: a tangente a uma circunferência num ponto é perpendicular ao raio nesse ponto.
– “Perpendicular” significa que o produto escalar com vcdot r = 0 é zero:
vxraiz3 + vycdot1 = 0 Longrightarrow vy = -raiz3,vx
Vamos supor um vetor genérico no plano vy = -raiz3cdot(-1)=raiz3 Longrightarrow v = lang<= -1,,raiz3,,0rang<= , .
A condição
Para achar um vetor fácil, escolho ; então
Repare que a componente é positiva ( ), ou seja, aponta para “crescer ”.

Passo 4

Falta normalizar | v| = raiz(-1)^2 + (raiz3)^2 + 0^2 = raiz1+3 =2 para ficar unitário.
  1. Norma de u = 12,lang<= -1,raiz3,0rang<= = lang<= -tfrac12,,tfracraiz32,,0rang<= :
  1. Vetor unitário :

Resposta

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