Dois vetores são definidos em um ponto P como sendo F=10 ar-3 atheta+5 aphi e G=2 ar+5 atheta+3 aphi. Determine no ponto P: (a) F bul<=t G; (b) a componente escalar de G na direção de F; © a componente vetorial de G na direção de F; (d) G times F; (e) um vetor unitário perpendicular a F e a G.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que, no ponto P, temos dois vetores em base esférica ortonormal:


Precisamos calcular:
(a)
(b) componente escalar de na direção de
© componente vetorial de na direção de
(d)
(e) um vetor unitário perpendicular a e
Matéria envolvida: produto escalar e vetorial em base ortonormal, projeção escalar e vetorial, e normalização de vetores. Vamos usar as fórmulas explícitas, sem pular etapas.

Passo 2

Produto escalar em base ortonormal:
vec Fcdotvec G = (10)(2) + (-3)(5) + (5)(3) = 20 - 15 + 15 = 20

Passo 3

Componente escalar (projeção escalar) de compvec F(vec G) = vec Gcdotvec F|vec F|, |vec F| = raiz10^2 + (-3)^2 + 5^2 = raiz100+9+25 = raiz134 em compvec F(vec G) = 20raiz134 :
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Passo 4

Componente vetorial (projeção vetorial) de projvec F(vec G) = vec Gcdotvec F|vec F|^2,vec F = 20134,vec F = 1067,l(10,vec ar - 3,vec atheta + 5,vec aphir) em projvec F(vec G) = 10067,vec ar ;-;3067,vec atheta ;+;5067,vec aphi :
Distribuindo:

Passo 5

Produto vetorial em base vec Gtimesvec F = vec ar & vec atheta & vec aphi 2 & 5 & 3 10 & -3 & 5 = vec ar,(5cdot5 - 3cdot(-3)) - vec atheta,(2cdot5 - 3cdot10) + vec aphi,(2cdot(-3) - 5cdot10) (que é um sistema de mão‐direita):
vec Gtimesvec F = vec ar,(25+9) - vec atheta,(10-30) + vec aphi,(-6-50) = 34,vec ar +20,vec atheta -56,vec aphi
Calculando:

Passo 6

Para achar um vetor unitário perpendicular a |vec Gtimesvec F| = raiz34^2 + 20^2 + (-56)^2 = raiz1156 + 400 + 3136 = raiz4692 = 2,raiz1173 e hat n = vec Gtimesvec F|vec Gtimesvec F| = 34,vec ar +20,vec atheta -56,vec aphi2raiz1173 = 17,vec ar +10,vec atheta -28,vec aphiraiz1173 , normalizamos :
Então o vetor unitário é

Resposta

(a)
(b)
©
(d)
(e)

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