Um campo vetorial é definido no ponto
como sendo
. Determine a componente vetorial de
que é: (a) normal a superfície
; (b) tangente à superfície
; © tangente ao cone
; (d) Determine um vetor unitário
perpendicular a
e tangente ao cone
.
Passo 1
Então, cara, o enunciado diz que a gente tem um campo vetorial em coordenadas esféricas no ponto B com
r = 5, θ = 120° e φ = 75°, e esse campo é
r = 5, θ = 120° e φ = 75°, e esse campo é
A matéria aqui é geometria em coordenadas esféricas e decomposição de vetores em componentes normais e tangenciais a superfícies. Para resolver, a gente vai usar:
- O que significa superfície r=const (esfera) e θ=const (cone).
- Que a base esférica (
) é ortonormal. - Projeção de um vetor numa direção ou num plano (subtrair componente na normal).
Passo 2
(a) Componente normal à superfície r=5:
A esfera r=5 tem normal unitário . Então basta pegar a projeção de
em
, que é o coeficiente em
:
A esfera r=5 tem normal unitário
Passo 3
(b) Componente tangente à superfície r=5:
Tangente à esfera são as direções e
. Então é só juntar as partes de
que vêm desses dois:
Tangente à esfera são as direções
Passo 4
© Componente tangente ao cone θ=120°:
O cone θ=const tem normal . Logo, a parte tangente é o vetor original sem a componente em
:
O cone θ=const tem normal
Passo 5
(d) Vetor unitário
perpendicular a
e tangente ao cone θ=120°:
- “Tangentão” ao cone →
vive só no subespaço gerado por e . Então escrevemos
- Perpendicular a
: →
- Unitário:
→
Então
. Podemos escolher o sinal “+” pra ficar um vetor bem orientado:
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(b)
©
(d)