Um campo vetorial é definido no ponto B(r=5, theta=120^circ, phi=75^circ) como sendo G=-12 ar-5 atheta+9 aphi. Determine a componente vetorial de G que é: (a) normal a superfície r=5; (b) tangente à superfície r=5; © tangente ao cone theta=120^circ; (d) Determine um vetor unitário a perpendicular a G e tangente ao cone theta=120^circ.

Passo 1

Então, cara, o enunciado diz que a gente tem um campo vetorial em coordenadas esféricas no ponto B com
r = 5, θ = 120° e φ = 75°, e esse campo é
vec G = -12,vec ar ;-;5,vec atheta ;+;9,vec aphi
A matéria aqui é geometria em coordenadas esféricas e decomposição de vetores em componentes normais e tangenciais a superfícies. Para resolver, a gente vai usar:
  1. O que significa superfície r=const (esfera) e θ=const (cone).
  2. Que a base esférica ( ) é ortonormal.
  3. Projeção de um vetor numa direção ou num plano (subtrair componente na normal).

Passo 2

(a) Componente normal à superfície r=5:
A esfera r=5 tem normal unitário vec Grm normal = Gr,vec ar = -12,vec ar . Então basta pegar a projeção de em , que é o coeficiente em :

Passo 3

(b) Componente tangente à superfície r=5:
Tangente à esfera são as direções vec Grm tan>=nte;r=5 = -5,vec atheta + 9,vec aphi e . Então é só juntar as partes de que vêm desses dois:

Passo 4

© Componente tangente ao cone θ=120°:
O cone θ=const tem normal vec Grm tan>=nte;theta=120^circ = vec G - (vec Gcdotvec atheta),vec atheta = -12,vec ar + 9,vec aphi . Logo, a parte tangente é o vetor original sem a componente em :

Passo 5

(d) Vetor unitário vec a = alpha,vec ar + beta,vec aphi perpendicular a alpha,(Gr) + beta,(Gphi) = 0 ;Longrightarrow; -12,alpha + 9,beta = 0 ;Longrightarrow; beta = 129,alpha = 43,alpha e tangente ao cone θ=120°:
  1. “Tangentão” ao cone → alpha^2 + beta^2 = 1 ;Longrightarrow; alpha^2 + l(tfrac43alphar)^2 = 1 ;Longrightarrow; alpha^2l(1 + tfrac169r) = 1 ;Longrightarrow; alpha^2 = tfrac925 ;Longrightarrow; alpha = pm tfrac35 vive só no subespaço gerado por vec a = 35,vec ar + 45,vec aphi e . Então escrevemos
  1. Perpendicular a :
  1. Unitário:
Então . Podemos escolher o sinal “+” pra ficar um vetor bem orientado:

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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