O vetor dirigido da origem ao ponto A é dado por (6,-2,-4), e o vetor unitário dirigido da origem ao ponto B é (2,-2,1) / 3. Se os pontos A e B estão a 10 unidades de distância um do outro, encontre as coordenadas do ponto B .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos o ponto A com vetor OA = (6, −2, −4) e uma direção unitária para o ponto B dada por
u ;=;(2,-2,1)3
Também sabemos que a distância entre A e B é 10.
O que vamos usar:
• Representar OB como um escalar λ vezes o vetor unitário u.
• A fórmula de distância em 3D, que é o módulo do vetor diferença:
.
• Álgebra para montar uma equação em λ e resolver com a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o vetor OB em função de um parâmetro λ (que vai ser a distância de O até B no sentido de u):
OB ;=;lambda,u ;=;lambda,(2,-2,1)3 ;=;l(tfrac2lambda3,,-tfrac2lambda3,,tfraclambda3r)
Então o vetor de A até B é
AB =OB-OA =l(tfrac2lambda3,-tfrac2lambda3,tfraclambda3r) ;-;(6,-2,-4)

Passo 3

Calcular cada componente de AB:
AB =l(tfrac2lambda3-6,; -tfrac2lambda3+2,; tfraclambda3+4r)
Agora usamos a condição de distância:
|AB|=10 Longrightarrow raizl(tfrac2lambda3-6r)^2 +l(-tfrac2lambda3+2r)^2 +l(tfraclambda3+4r)^2 =10

Passo 4

Para simplificar, vamos elevar ao quadrado (pra eliminar a raiz) e montar a soma dos quadrados:
l(tfrac2lambda3-6r)^2 +l(-tfrac2lambda3+2r)^2 +l(tfraclambda3+4r)^2 =100
Desenvolvendo cada termo (é só aplicar lambda^2 ;-;8lambda ;+;56 ;=;100 Longrightarrow lambda^2-8lambda-44=0 e ), a soma vira uma equação quadrática

Passo 5

Agora resolvemos lambda =8pmraiz(-8)^2-4cdot1cdot(-44)2 =8pmraiz64+1762 =8pmraiz2402 =8pm4raiz152 =4pm2raiz15 pela fórmula de Bhaskara:

Passo 6

Como λ é a “distância assinada” de O a B na direção de u, a gente pega o valor positivo:
lambda=4+2raiz15
Logo
OB =l(tfrac2lambda3,,-tfrac2lambda3,,tfraclambda3r) =l(tfrac2(4+2raiz15)3,, -tfrac2(4+2raiz15)3,, tfrac4+2raiz153r)

Resposta

As coordenadas do ponto boxed Bgl(,2(4+2raiz15)3,;-,2(4+2raiz15)3,;4+2raiz153gr) são

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