vetor dirigido da origem ao ponto
é dado por
, e o vetor unitário dirigido da origem ao ponto B é
. Se os pontos A e B estão a 10 unidades de distância um do outro, encontre as coordenadas do ponto B .
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: temos o ponto A com vetor OA = (6, −2, −4) e uma direção unitária para o ponto B dada por
Também sabemos que a distância entre A e B é 10.
O que vamos usar:
• Representar OB como um escalar λ vezes o vetor unitário u.
• A fórmula de distância em 3D, que é o módulo do vetor diferença:
.
• Álgebra para montar uma equação em λ e resolver com a fórmula de Bhaskara.
O que vamos usar:
• Representar OB como um escalar λ vezes o vetor unitário u.
• A fórmula de distância em 3D, que é o módulo do vetor diferença:
• Álgebra para montar uma equação em λ e resolver com a fórmula de Bhaskara.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o vetor OB em função de um parâmetro λ (que vai ser a distância de O até B no sentido de u):
Então o vetor de A até B é
Passo 3
Calcular cada componente de AB:
Agora usamos a condição de distância:
Passo 4
Para simplificar, vamos elevar ao quadrado (pra eliminar a raiz) e montar a soma dos quadrados:
Desenvolvendo cada termo (é só aplicar
e
), a soma vira uma equação quadrática
Passo 5
Agora resolvemos
pela fórmula de Bhaskara:
Passo 6
Como λ é a “distância assinada” de O a B na direção de u, a gente pega o valor positivo:
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Resposta
As coordenadas do ponto
são