Um campo vetorial é definido por W=4 x^2 y ax-(7 x+2 z) ay+(4 x y+2 z^2) az. Pede-se:
(a) A intensidade (ou módulo) do campo no ponto P(2,-3,4);
(b) Um vetor unitário que indique a direção do campo no ponto P ;
© Em que ponto (ou pontos) do eixo z a intensidade do campo é unitária.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que a gente tem um campo vetorial
vec W(x,y,z)=4x^2y,vec ax ;-;(7x+2z),vec ay;+;(4xy+2z^2),vec az
e pede:
(a) o módulo desse vetor no ponto ,
(b) um vetor unitário na direção de em ,
© em quais pontos do eixo esse módulo vale 1.
O conteúdo aqui é cálculo vetorial básico: norma de vetor, vetor unitário e resolver uma equação para achar pontos. Vamos usar:
  • como se calcula a norma (módulo) de um vetor : .
  • como se faz vetor unitário: .
  • substituição de coordenadas e resolução de equação.

Passo 2

Primeiro a gente avalia Wx&=4x^2y=4cdot2^2cdot(-3)=4cdot4cdot(-3)=-48, Wy&=-(7x+2z)=-(7cdot2+2cdot4)=-(14+8)=-22, Wz&=4xy+2z^2=4cdot2cdot(-3)+2cdot4^2=-24+2cdot16=-24+32=8 em .
Componentes:
Logo .

Passo 3

Agora o módulo em |vec W(2,-3,4)| =raiz(-48)^2+(-22)^2+8^2 =raiz2304+484+64 =raiz2852 =2raiz713 é

Passo 4

O vetor unitário na direção de hat W =1|vec W|,vec W =12raiz713,(-48,,-22,,8) =l(-24raiz713,,-11raiz713,,4raiz713r) é

Passo 5

No eixo vec W(0,0,z) =(0,,-2z,,2z^2) temos |vec W| =raiz0^2+(-2z)^2+(2z^2)^2 =raiz4z^2+4z^4 =2|z|raiz1+z^2 . Então
|z|raiz1+z^2=tfrac12 ;Longrightarrow; z^2(1+z^2)=tfrac14 ;Longrightarrow; 4z^4+4z^2-1=0
e seu módulo
4u^2+4u-1=0 ;Longrightarrow; u=-4pmraiz16+168 =-4pm4raiz28 =-1pmraiz22
Queremos z^2=-1+raiz22 ;Longrightarrow; z=pmraiz-1+raiz22 . Dividindo por 2 e elevando ao quadrado:
Pondo :
Só vale , então

Resposta

(a) (0,0,;+raiztfrac-1+raiz22)e(0,0,;-raiztfrac-1+raiz22)
(b)
© Os pontos do eixo são

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