Dados os vetores F=2 ax-5 ay-4 az e G=3 ax+5 ay+2 az, determine: (a) F cdot G; (b) o ângulo entre F e G; © a componente escalar de F na direção de G; (d) a projeção vetorial de F na direção de G.

Passo 1

Beleza, o problema manda: dado
vec F = 2,vec ax - 5,vec ay - 4,vec az e vec G = 3,vec ax + 5,vec ay + 2,vec az,
a gente precisa encontrar:
(a) o produto escalar ;
(b) o ângulo entre e ;
© a componente escalar de na direção de ;
(d) a projeção vetorial de na direção de .
Conteúdo: operações com vetores – produto escalar, norma (magnitude), definição de ângulo ( ), componente escalar e projeção vetorial. Vamos usar as fórmulas básicas, sem pular nada!

Passo 2

Produto escalar vec Fcdotvec G = FxGx + FyGy + FzGz .
Teoria: pra duas componentes em vec Fcdotvec G = (2)(3) + (-5)(5) + (-4)(2) = 6 - 25 - 8 = -27 ,
Aqui:

Passo 3

Normas (magnitudes) lvert vec Frvert = raizFx^2 + Fy^2 + Fz^2, lvert vec Grvert = raizGx^2 + Gy^2 + Gz^2 e lvert vec Frvert = raiz2^2 + (-5)^2 + (-4)^2 = raiz4+25+16 = raiz45 = 3raiz5, .
Teoria:
lvert vec Grvert = raiz3^2 + 5^2 + 2^2 = raiz9+25+4 = raiz38
Então

Passo 4

Ângulo costheta = vec Fcdotvec Glvert vec Frvert,lvert vec Grvert entre costheta = -27(3raiz5),raiz38 = -273raiz190 = -9raiz190 e theta = arccos!l(tfrac-9raiz190r) approx 130,6^circ .
Teoria:
Substituindo:
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Passo 5

Componente escalar de compvec G(vec F) = vec Fcdotvec Glvert vec Grvert = -27raiz38 approx -4,379 na direção de .
Teoria: é
É negativo porque tem projeção contrária ao sentido de .

Passo 6

Projeção vetorial de projvec G(vec F) = vec Fcdotvec Glvert vec Grvert^2,vec G = -2738,l(3,vec ax +5,vec ay +2,vec azr) na direção de projvec G(vec F) = -8138,vec ax ;-;13538,vec ay;-;5438,vec az .
Teoria:
Distributivo:

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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