Dado os três pontos A(2,-3,1), B(-4,-2,6) e C(1,5,-3), determine: (a) o vetor que se estende de A a C; (b) o vetor unitário dirigido de B até A; © a distância entre B e C; (d) o vetor que se estende de A até o ponto médio do segmento que une BaC .

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem três pontos no espaço tridimensional:
A(2, −3, 1), B(−4, −2, 6) e C(1, 5, −3).
O assunto é geometria vetorial em ℝ³, e vamos usar:
  • A operação de subtração de vetores para achar vetores “de um ponto a outro”.
  • A fórmula do módulo (norma) de um vetor, que é .
  • Como achar um vetor unitário: é só dividir o vetor pelo seu próprio módulo.
  • A fórmula da distância entre dois pontos em ℝ³, que é igual ao módulo do vetor que os liga.
  • A fórmula do ponto médio de dois pontos em ℝ³, que é a média das coordenadas de cada eixo.

Passo 2

(a) Vetor de A a C:
Para achar AC = (,1 - 2,; 5 - (-3),; -3 - 1) = (-1,;8,;-4) , a gente faz componente a componente:
Isso já resolve a letra (a).

Passo 3

(b) Vetor unitário dirigido de B até A:
  1. Primeiro achamos o vetor BA = (,2 - (-4),;-3 - (-2),;1 - 6) = (6,;-1,;-5) :
|BA| = raiz6^2 + (-1)^2 + (-5)^2 = raiz36 + 1 + 25 = raiz62
  1. Agora o módulo de u = l(tfrac6raiz62,; tfrac-1raiz62,; tfrac-5raiz62r) é
  1. O vetor unitário é :

Passo 4

© Distância entre B e C:
A distância é o módulo do vetor BC = (,1 - (-4),;5 - (-2),;-3 - 6) = (5,;7,;-9) :
d(B,C) = |BC| = raiz5^2 + 7^2 + (-9)^2 = raiz25 + 49 + 81 = raiz155
Então

Passo 5

(d) Vetor de A até o ponto médio M de B e C:
  1. Primeiro o ponto médio M = l(tfrac-4 + 12,;tfrac-2 + 52,;tfrac6 + (-3)2r) = l(-tfrac32,;tfrac32,;tfrac32r) de B e C tem coordenadas
AM = l(-tfrac32 - 2,;tfrac32 - (-3),;tfrac32 - 1r) = l(-tfrac72,;tfrac92,;tfrac12r)
  1. O vetor :

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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