Para o campo vetorial F e a curva C dados, calcule integralC F cdot d r :
F é o campo vetorial em R^3 dado por F(x, y, z)=(e^y, 1, x+y+z) ; C é o arco da curva obtida pela interseção do cilindro parabólico z=y^2 com o plano x+z=2, com ponto inicial (1,-1,1) e ponto final (1,1,1).

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo:
Temos um campo vetorial F(x, y, z) = (e^y, 1, x + y + z) definido em R^3 e uma curva C que é a interseção do cilindro parabólico z = y^2 com o plano x + z = 2. Queremos calcular a integral de linha integralC F cdot dr.
Matéria Envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha em campos vetoriais.
O que vamos precisar:
  • Parametrizar a curva C.
  • Determinar o vetor diferencial dr.
  • Calcular o produto escalar F cdot dr.
  • Integrar ao longo do intervalo apropriado.

Passo 2

Parametrização da Curva C:
A curva C é a interseção do cilindro z = y^2 com o plano x + z = 2.
Vamos expressar x em função de y a partir do plano:
x + z = 2 implies x = 2 - z = 2 - y^2
Assim, podemos usar y como parâmetro para a curva. Então, a parametrização fica:
r(y) = (2 - y^2, y, y^2)

Passo 3

Encontrando o Vetor Diferencial dr:
Para calcular dr, precisamos derivar cada componente de r(y) em relação a y:
dxdy = -2y dydy = 1 dzdy = 2y
Portanto, o vetor diferencial é:
dr = (-2y, 1, 2y) dy

Passo 4

Calculando o Produto Escalar F cdot dr:
Primeiro, substituímos a parametrização na expressão de F:
F(x, y, z) = (e^y, 1, x + y + z) F(2 - y^2, y, y^2) = (e^y, 1, 2 - y^2 + y + y^2) = (e^y, 1, 2 + y)
Agora, calculamos o produto escalar com dr:
F cdot dr = (e^y, 1, 2 + y) cdot (-2y, 1, 2y) = (-2y)e^y + 1 cdot 1 + (2 + y)(2y) = -2y e^y + 1 + 4y + 2y^2

Passo 5

Configurando a Integral de Linha:
A integral de linha fica:
integralC F cdot dr = integraly=-1^y=1 (-2y e^y + 1 + 4y + 2y^2) dy
Observação: Os limites de integração vão de y = -1 a y = 1 porque os pontos inicial e final da curva C são (1, -1, 1) e (1, 1, 1), respectivamente.

Passo 6

Calculando a Integral Termo a Termo:
Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de -2y e^y:
integral -2y e^y dy
Usando integração por partes, onde:
u = y implies du = dy dv = e^y dy implies v = e^y
Então:
integral y e^y dy = y e^y - integral e^y dy = y e^y - e^y + C
Portanto:
integral -2y e^y dy = -2 (y e^y - e^y) + C
  1. Integral de 1:
integral 1 dy = y + C
  1. Integral de 4y:
integral 4y dy = 2y^2 + C
  1. Integral de 2y^2:
integral 2y^2 dy = 23y^3 + C
Somando todas as integrais:
-2(y e^y - e^y) + y + 2y^2 + 23y^3 + C

Passo 7

Avaliando a Antiderivada nos Limites de Integração:
Vamos substituir y = 1 e y = -1 na antiderivada e calcular a diferença.
  1. Em y = 1:
-2(1 cdot e^1 - e^1) + 1 + 2(1)^2 + 23(1)^3 = -2(0) + 1 + 2 + 23 = 3 + 23 = 113
  1. Em y = -1:
-2(-1 cdot e^-1 - e^-1) + (-1) + 2(1) + 23(-1)^3 = -2(-2 e^-1) -1 + 2 - 23 = 4e + 13

Passo 8

Calculando a Diferença:
(113) - (4e + 13) = 103 - 4e

Resposta

A integral de linha é igual a dfrac103 - dfrac4e.

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