Para o campo vetorial
e a curva
dados, calcule
:
é o campo vetorial em
dado por
é o arco da curva obtida pela interseção do cilindro parabólico
com o plano
, com ponto inicial
e ponto final
.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo:
Temos um campo vetorial
definido em
e uma curva
que é a interseção do cilindro parabólico
com o plano
. Queremos calcular a integral de linha
.
Matéria Envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha em campos vetoriais.
O que vamos precisar:
- Parametrizar a curva
. - Determinar o vetor diferencial
. - Calcular o produto escalar
. - Integrar ao longo do intervalo apropriado.
Passo 2
Parametrização da Curva
:
A curva
é a interseção do cilindro
com o plano
.
Vamos expressar
em função de
a partir do plano:
Assim, podemos usar
como parâmetro para a curva. Então, a parametrização fica:
Passo 3
Encontrando o Vetor Diferencial
:
Para calcular
, precisamos derivar cada componente de
em relação a
:
Portanto, o vetor diferencial é:
Passo 4
Calculando o Produto Escalar
:
Primeiro, substituímos a parametrização na expressão de
:
Agora, calculamos o produto escalar com
:
Passo 5
Configurando a Integral de Linha:
A integral de linha fica:
Observação: Os limites de integração vão de
a
porque os pontos inicial e final da curva
são
e
, respectivamente.
Passo 6
Calculando a Integral Termo a Termo:
Vamos integrar cada termo separadamente:
- Integral de
:
Usando integração por partes, onde:
Então:
Portanto:
- Integral de
:
- Integral de
:
- Integral de
:
Somando todas as integrais:
Passo 7
Avaliando a Antiderivada nos Limites de Integração:
Vamos substituir
e
na antiderivada e calcular a diferença.
- Em
:
- Em
:
Passo 8
Calculando a Diferença:
Resposta
A integral de linha é igual a
.