Use o critério de Cauchy para verificar que a serie abaixo é convergente e calcule seu valor.
sumn=1^infty 1n(n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o critério de Cauchy pra verificar se a série
sumn=1^infty 1n(n+1)
é convergente e, depois, calcular o seu valor. Vamos precisar entender como funciona o critério de Cauchy e aplicar um pouco de álgebra de séries pra resolver isso direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o critério de Cauchy para séries. Basicamente, ele diz que uma série
sumn=1^infty an
é convergente se, para todo varepsilon > 0, existe um número N tal que para todos os inteiros m > n > N, a soma dos termos de n+1 até m é menor que varepsilon:
| an+1 + an+2 + dots + am | < varepsilon
Isso significa que, conforme somamos mais termos, a soma das diferenças fica cada vez menor, indicando estabilidade e, portanto, convergência da série.

Passo 3

Vamos aplicar esse critério na nossa série:
sumn=1^infty 1n(n+1)
Primeiro, vamos simplificar o termo geral 1n(n+1). Podemos fazer uma decomposição em frações parciais:
1n(n+1) = 1n - 1n+1
Isso transforma nossa série em:
sumn=1^infty ( 1n - 1n+1 )

Passo 4

Agora, vamos ver como fica a soma dos primeiros termos dessa série para entender o comportamento:
Sk = ( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + dots + ( 1k - 1k+1 )
Perceba que a maioria dos termos se cancela:
Sk = 1 - 1k+1

Passo 5

Agora, para verificar a convergência usando o critério de Cauchy, observamos que:
limk to infty Sk = limk to infty ( 1 - 1k+1 ) = 1
Como o limite dos somas parciais existe e é finito, a série é convergente.

Passo 6

Finalmente, para encontrar o valor da série, já vimos que:
Sk = 1 - 1k+1
Então, quando k tende ao infinito:
sumn=1^infty 1n(n+1) = limk to infty Sk = 1

Resposta

A série sumn=1^infty 1n(n+1) é convergente pelo critério de Cauchy e seu valor é igual a 1.

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