Use o critério de Cauchy para verificar que a serie abaixo é convergente e calcule seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o critério de Cauchy pra verificar se a série
é convergente e, depois, calcular o seu valor. Vamos precisar entender como funciona o critério de Cauchy e aplicar um pouco de álgebra de séries pra resolver isso direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o critério de Cauchy para séries. Basicamente, ele diz que uma série
é convergente se, para todo
, existe um número
tal que para todos os inteiros
, a soma dos termos de
até
é menor que
:
Isso significa que, conforme somamos mais termos, a soma das diferenças fica cada vez menor, indicando estabilidade e, portanto, convergência da série.
Passo 3
Vamos aplicar esse critério na nossa série:
Primeiro, vamos simplificar o termo geral
. Podemos fazer uma decomposição em frações parciais:
Isso transforma nossa série em:
Passo 4
Agora, vamos ver como fica a soma dos primeiros termos dessa série para entender o comportamento:
Perceba que a maioria dos termos se cancela:
Passo 5
Agora, para verificar a convergência usando o critério de Cauchy, observamos que:
Como o limite dos somas parciais existe e é finito, a série é convergente.
Passo 6
Finalmente, para encontrar o valor da série, já vimos que:
Então, quando
tende ao infinito:
Resposta
A série
é convergente pelo critério de Cauchy e seu valor é igual a 1.