Seja
o arco da parábola
com ponto inicial
e ponto final
; seja
o segmento de reta com os mesmos pontos inicial e final. Se
, calcule as integrais de linha
e
. Se
é a curva fechada obtida percorrendo
seguida de
com orientação oposta, qual é o valor de
?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre integrais de linha em um campo vetorial. Especificamente, temos duas curvas: $ C_1 $, que é um arco da parábola $ y = x^2 + 1 $ de
a
, e $ C_2 $, que é uma linha reta entre esses mesmos pontos. Nosso campo vetorial é $ \mathbf{F}(x, y) = (x, x^2 y) $. Vamos calcular as integrais de linha $ \int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ e $ \int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $. Além disso, queremos saber o valor de $ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $, onde $ C $ é a curva fechada formada por $ C_1 $ seguida de $ C_2 $ com orientação oposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. A fórmula geral é:
Onde $ \mathbf{r}(t) $ é a parametrização da curva $ C $ de $ t = a $ a $ t = b $.
Passo 3
Vamos começar calculando $ \int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $. Para isso, precisamos parametrizar a curva $ C_1 $.
Como $ C_1 $ está na parábola $ y = x^2 + 1 $, podemos tomar $ x = t $, onde $ t $ vai de 0 a 1. Então:
Derivando em relação a $ t $:
Passo 4
Agora, substituímos $ \mathbf{r}(t) $ e $ \mathbf{r}’(t) $ na integral de linha:
Calculando $ \mathbf{F}(t, t^2 + 1) $:
Passo 5
Agora, fazemos o produto escalar:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Somando tudo:
Então,
Passo 8
Agora, vamos calcular $ \int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $. A curva $ C_2 $ é uma linha reta de
a
.
Vamos parametrizar $ C_2 $. Podemos usar uma parametrização linear:
Onde $ t $ varia de 0 a 1.
Derivando:
Passo 9
Substituindo na integral de linha:
Calculando $ \mathbf{F}(t, 1 + t) $:
Passo 10
Fazendo o produto escalar:
Então, a integral fica:
Passo 11
Integrando termo a termo:
Passo 12
Somando tudo:
Então,
Passo 13
Agora, queremos calcular $ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $, onde $ C $ é a curva fechada formada por $ C_1 $ seguida de $ C_2 $ com orientação oposta.
Primeiro, vamos entender o que isso significa. Percorrer $ C_1 $ seguida de $ C_2 $ com orientação oposta é o mesmo que fechar o caminho de volta por $ C_2 $ invertida.
Então,
Passo 14
Substituindo os valores que encontramos:
Para subtrair, colocamos em denominador comum:
Então,