Seja C1 o arco da parábola y=x^2+1 com ponto inicial (0,1) e ponto final (1,2); seja C2 o segmento de reta com os mesmos pontos inicial e final. Se F(x, y)=(x, x^2 y), calcule as integrais de linha integralC1 F cdot d r e integralC2 F cdot d r. Se C é a curva fechada obtida percorrendo C1 seguida de C2 com orientação oposta, qual é o valor de integralC F cdot d r ?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre integrais de linha em um campo vetorial. Especificamente, temos duas curvas: $ C_1 $, que é um arco da parábola $ y = x^2 + 1 $ de C1 a y = x^2 + 1 , e $ C_2 $, que é uma linha reta entre esses mesmos pontos. Nosso campo vetorial é $ \mathbf{F}(x, y) = (x, x^2 y) $. Vamos calcular as integrais de linha $ \int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ e $ \int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $. Além disso, queremos saber o valor de $ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $, onde $ C $ é a curva fechada formada por $ C_1 $ seguida de $ C_2 $ com orientação oposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. A fórmula geral é:
integralC F cdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r'(t) , dt
Onde $ \mathbf{r}(t) $ é a parametrização da curva $ C $ de $ t = a $ a $ t = b $.

Passo 3

Vamos começar calculando $ \int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $. Para isso, precisamos parametrizar a curva $ C_1 $.
Como $ C_1 $ está na parábola $ y = x^2 + 1 $, podemos tomar $ x = t $, onde $ t $ vai de 0 a 1. Então:
integralC1 F cdot dr
Derivando em relação a $ t $:
C1

Passo 4

Agora, substituímos $ \mathbf{r}(t) $ e $ \mathbf{r}’(t) $ na integral de linha:
r(t)
Calculando $ \mathbf{F}(t, t^2 + 1) $:
r'(t)

Passo 5

Agora, fazemos o produto escalar:
F(t, t^2 + 1) cdot r'(t) = t cdot 1 + (t^4 + t^2) cdot 2t = t + 2t^5 + 2t^3
Então, a integral fica:
integral0^1 (t + 2t^5 + 2t^3) dt

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral0^1 t , dt = [t^22]0^1 = 12
integral0^1 2t^5 , dt = 2 [t^66]0^1 = 26 = 13
integral0^1 2t^3 , dt = 2 [t^44]0^1 = 24 = 12

Passo 7

Somando tudo:
12 + 13 + 12 = 12 + 12 + 13 = 1 + 13 = 43
Então,
integralC1 F cdot dr = 43

Passo 8

Agora, vamos calcular $ \int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $. A curva $ C_2 $ é uma linha reta de integralC2 F cdot dr a C2 .
Vamos parametrizar $ C_2 $. Podemos usar uma parametrização linear:
(0,1)
Onde $ t $ varia de 0 a 1.
Derivando:
(1,2)

Passo 9

Substituindo na integral de linha:
integralC2 F cdot dr = integral0^1 F(t, 1 + t) cdot (1, 1) , dt
Calculando $ \mathbf{F}(t, 1 + t) $:
F(t, 1 + t)

Passo 10

Fazendo o produto escalar:
F(t, 1 + t) cdot r'(t) = t cdot 1 + (t^2 + t^3) cdot 1 = t + t^2 + t^3
Então, a integral fica:
integral0^1 (t + t^2 + t^3) dt

Passo 11

Integrando termo a termo:
integral0^1 t , dt = [t^22]0^1 = 12
integral0^1 t^2 , dt = [t^33]0^1 = 13
integral0^1 t^3 , dt = [t^44]0^1 = 14

Passo 12

Somando tudo:
12 + 13 + 14 = 612 + 412 + 312 = 1312
Então,
integralC2 F cdot dr = 1312

Passo 13

Agora, queremos calcular $ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $, onde $ C $ é a curva fechada formada por $ C_1 $ seguida de $ C_2 $ com orientação oposta.
Primeiro, vamos entender o que isso significa. Percorrer $ C_1 $ seguida de $ C_2 $ com orientação oposta é o mesmo que fechar o caminho de volta por $ C_2 $ invertida.
Então,
integralC F cdot dr

Passo 14

Substituindo os valores que encontramos:
integralC F cdot dr = 43 - 1312
Para subtrair, colocamos em denominador comum:
43 = 1612
Então,
1612 - 1312 = 312 = 14

Resposta

integralC1 F cdot dr = 43, integralC2 F cdot dr = 1312, e integralC F cdot dr = 14

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