O campo vetorial \mathbf{E} é caracterizado pelas seguintes propriedades:
(a) \mathbf{E} aponta ao longo de \mathbf{R};
(b) o módulo de \mathbf{E} é uma função da distância a partir da origem apenas;
(c) \mathbf{E} desaparece na origem;
(d) \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}=6 \mathrm{em} todos os pontos. Determine uma expressão para \mathbf{E} que satisfaça essas propriedades.

Passo 1

O enunciado pede um campo vetorial \mathbf{E} em \mathbb{R}^3 que (i) seja radial (aponte ao longo de \mathbf{R}), (ii) tenha módulo dependente só de r=\|\mathbf{R}\|, (iii) valha zero na origem, e (iv) satisfaça
\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{E}=6
em todo ponto. O conteúdo aqui é o cálculo da divergência de um campo radial e a solução de uma equação diferencial para a função escalar que o caracteriza.

Passo 2

Como \mathbf{E} é radial e seu módulo só depende de r, escrevemos
\mathbf{E}(\mathbf{R}) = f(r)\,\mathbf{R},
onde r=\|\mathbf{R}\| e f é uma função escalar de r só. Nosso objetivo é encontrar f(r).

Passo 3

Vamos calcular \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{E}. Usando a identidade
\boldsymbol{\nabla}\cdot\bigl(f(r)\,\mathbf{R}\bigr) = r\,f'(r) + 3\,f(r),
onde f'=\tfrac{df}{dr}. Essa expressão deve ser igual a 6, ou seja, obtemos a EDO
r\,f'(r)+3\,f(r)=6.

Passo 4

Resolvendo a EDO linear: escrevemos
f'(r)+\frac{3}{r}f(r)=\frac{6}{r}.
O fator de integração é \mu(r)=r^3, logo
\frac{d}{dr}\bigl(r^3 f(r)\bigr) =6\,r^2 \quad\Longrightarrow\quad r^3 f(r)=2\,r^3 + C \quad\Longrightarrow\quad f(r)=2 + \frac{C}{r^3}.
Para \mathbf{E} não explodir em r=0 e valer zero lá, escolhemos C=0. Assim
f(r)=2.

Passo 5

Substituindo em \mathbf{E}(\mathbf{R})=f(r)\,\mathbf{R}, fica
\mathbf{E}(\mathbf{R})=2\,\mathbf{R}.
Note que nesse caso \mathbf{E}(0)=\mathbf{0}, a divergência é 6 em todos os pontos e \mathbf{E} é radial e só depende de r.

Resposta

\boxed{\mathbf{E}(\mathbf{R}) = 2\,\mathbf{R}.}

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