O campo vetorial
é caracterizado pelas seguintes propriedades:
(a)
aponta ao longo de
;
(b) o módulo de
é uma função da distância a partir da origem apenas;
(c)
desaparece na origem;
(d)
todos os pontos. Determine uma expressão para
que satisfaça essas propriedades.
(a)
(b) o módulo de
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede um campo vetorial
em
que (i) seja radial (aponte ao longo de
), (ii) tenha módulo dependente só de
, (iii) valha zero na origem, e (iv) satisfaça
em todo ponto. O conteúdo aqui é o cálculo da divergência de um campo radial e a solução de uma equação diferencial para a função escalar que o caracteriza.
Passo 2
Como
é radial e seu módulo só depende de
, escrevemos
onde
e
é uma função escalar de
só. Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular
. Usando a identidade
onde
. Essa expressão deve ser igual a
, ou seja, obtemos a EDO
Passo 4
Resolvendo a EDO linear: escrevemos
O fator de integração é
, logo
Para
não explodir em
e valer zero lá, escolhemos
. Assim
Passo 5
Substituindo em
, fica
Note que nesse caso
, a divergência é
em todos os pontos e
é radial e só depende de
.