Meio mol de um gás ideal monoatômico parte de 5 atm e 3 L e segue em linha reta no diagrama PV para 2 atm e 7,5 \mathrm{~L}. Depois é resfriado isobaricamente até o volume de 3 L . Em seguida é aquecido isocoricamente até o estado inicial. Calcule: O calor, o trabalho e a energia interna entre todas as etapas dos processos, e os valores totais desses parâmetros (calor, trabalho e energia interna).

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo cujo fluido é meio mol de um gás ideal monoatômico ( n=0,5 mol). O estado inicial é \bigl(P_{1}=5\text{ atm},V_{1}=3\text{ L}\bigr). A sequência de processos é:
  1. De A para B segue-se uma reta no diagrama P V até \bigl(P_{2}=2\text{ atm},V_{2}=7{,}5\text{ L}\bigr).
  2. De B para C resfria isobaricamente a P=2 atm até V_{3}=3 L.
  3. De C volta-se ao estado inicial A por aquecimento isocórico V=3 L, atingindo P=5 atm.
Queremos, em cada etapa, o calor Q, o trabalho W e a variação de energia interna \Delta U, e depois seus valores totais. Vamos usar a primeira lei \Delta U=Q-W e para gás monoatômico \displaystyle C_{V}=\tfrac{3}{2}R, \displaystyle C_{P}=\tfrac{5}{2}R, com R=8{,}314 J/(mo l\cdot K).

Passo 2

Cálculo de A→B (reta no P V). Em primeiro lugar note que
P_{1}V_{1}=5\cdot3=15\quad\text{e}\quad P_{2}V_{2}=2\cdot7{,}5=15\quad(\text{atm\cdotL}),
logo a temperatura é constante e \Delta U_{AB}=0. Para o trabalho usamos
P(V)=P_{1}+m\,(V-V_{1}),\quad m=\frac{P_{2}-P_{1}}{V_{2}-V_{1}} =\frac{2-5}{7{,}5-3}=-\tfrac{3}{4{,}5}=-0{,}6667\;\text{(atm/L)}.
Logo
W_{AB}=\int_{V_{1}}^{V_{2}}P(V)\,dV =P_{1}(V_{2}-V_{1})+\frac{m}{2}(V_{2}-V_{1})^{2} =5\cdot4{,}5+\frac{-0{,}6667}{2}\,(4{,}5)^{2}=15{,}75\;\text{atm\cdotL}.
Convertendo para joules ( 1\text{ atm\cdotL}=101{,}325 J):
W_{AB}=15{,}75\times101{,}325\approx1\,596{,}9\;\text{J}.
Como \Delta U_{AB}=0, o calor é Q_{AB}=W_{AB}\approx1\,596{,}9 J.

Passo 3

Cálculo de B→C (processo isobárico a P=2 atm de V_{2}=7{,}5 L a V_{3}=3 L).
O trabalho é
W_{BC}=P\,(V_{3}-V_{2})=2\;(\,3-7{,}5)= -9\;\text{atm\cdotL} \;\longrightarrow\; W_{BC}=-9\times101{,}325\approx-912{,}0\;\text{J}.
As temperaturas nos estados B e C vêm de TV=nR:
T_{2}=\frac{P_{2}V_{2}}{nR} =\frac{2\cdot7{,}5}{0{,}5\cdot8{,}314}\times101{,}325^{-1}\approx365{,}7\;\text{K},
T_{3}=\frac{2\cdot3}{0{,}5\cdot8{,}314}\times101{,}325^{-1}\approx146{,}3\;\text{K}, \Delta T=T_{3}-T_{2}\approx-219{,}4 K. Então
\Delta U_{BC}=n\,C_{V}\,\Delta T =0{,}5\;\frac{3}{2}\,8{,}314\;(-219{,}4)\approx-1\,367{,}4\;\text{J}.
E o calor
Q_{BC}=\Delta U_{BC}+W_{BC}\approx-1\,367{,}4+(-912{,}0)=-2\,279{,}4\;\text{J}.

Passo 4

Cálculo de C→A (isochoricamente a V=3 L até voltar a P=5 atm, ou seja, até T_{4}=T_{1}\approx365{,}7 K).
Como V é constante, W_{CA}=0. A variação de temperatura é \Delta T=T_{4}-T_{3}=+219{,}4 K, logo
\Delta U_{CA}=n\,C_{V}\,\Delta T =0{,}5\;\frac{3}{2}\,8{,}314\;(219{,}4)\approx+1\,367{,}4\;\text{J},
e
Q_{CA}=\Delta U_{CA}\approx1\,367{,}4\;\text{J}.

Passo 5

Somando as três etapas:
\Delta U_{\text{tot}}=\Delta U_{AB}+\Delta U_{BC}+\Delta U_{CA} =0-1\,367{,}4+1\,367{,}4=0\;\text{J},
W_{\text{tot}}=1\,596{,}9-912{,}0+0\approx684{,}9\;\text{J},
Q_{\text{tot}}=1\,596{,}9-2\,279{,}4+1\,367{,}4\approx685{,}0\;\text{J}.

Resposta

Passo A→B: Q_{AB}\approx1\,596{,}9 J, W_{AB}\approx1\,596{,}9 J, \Delta U_{AB}=0.
Passo B→C: Q_{BC}\approx-2\,279{,}4 J, W_{BC}\approx-912{,}0 J, \Delta U_{BC}\approx-1\,367{,}4 J.
Passo C→A: Q_{CA}\approx1\,367{,}4 J, W_{CA}=0, \Delta U_{CA}\approx1\,367{,}4 J.
Totais: Q_{\text{tot}}\approx685{,}0 J, W_{\text{tot}}\approx684{,}9 J, \Delta U_{\text{tot}}=0.

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