Um gás sofre vários processos. Começa com uma expansão adiabática de 2,64 \mathrm{~atm} e volume de 10 L até 1 atm ; (2) resfriamento isobárico até o volume inicial e (3) aquecimento isocórico até a pressão inicial. Considere um mol de gás diatômico. Calcule:
O calor, o trabalho e a energia interna entre todas as etapas dos processos, e os valores totais desses parâmetros (calor, trabalho e energia interna).

Passo 1

O enunciado descreve um mol de gás diatômico ideal que passa por três processos em ciclo:
  1. Expansão adiabática de \,P_1=2{,}64\:\mathrm{atm}, V_1=10\:\mathrm{L} até P_2=1\:\mathrm{atm}.
  2. Resfriamento isobárico a P_2=1\:\mathrm{atm} até retornar ao volume V_1.
  3. Aquecimento isocórico a V_1 até que a pressão volte a P_1=2{,}64\:\mathrm{atm}.
    Conteúdo: primeira lei da termodinâmica \Delta U=q-w, equações dos processos adiabático PV^\gamma= const.), isobárico ( w=P\Delta V e isocórico w=0. Para gás diatômico usamos f=5,
C_V=\frac{5}{2}R,\quad C_P=\frac{7}{2}R,\quad \gamma=\frac{7}{5}.

Passo 2

Processo 1 (adiabático):
• Como PV^\gamma= const. e P_1/P_2=2{,}64, encontramos
V_2=V_1\bigl(P_1/P_2\bigr)^{1/\gamma} =10\:\mathrm{L}\times(2{,}64)^{1/1{,}4}\approx20\:\mathrm{L}.
• Temperaturas iniciais e finais via PV=nRT:
T_1=\frac{P_1V_1}{R}\approx\frac{2{,}64\times10}{0{,}08206}\approx321{,}7\:\mathrm{K}, \quad T_2=\frac{P_2V_2}{R}\approx\frac{1\times20}{0{,}08206}\approx243{,}7\:\mathrm{K}.
• Como é adiabático, q_1=0. Pela primeira lei,
\Delta U_1=C_V\,(T_2-T_1) =\frac{5}{2}R\,(243{,}7-321{,}7) \approx-1{,}62\times10^3\:\mathrm{J},
w_1=-\Delta U_1\approx+1{,}62\times10^3\:\mathrm{J}.

Passo 3

Processo 2 (isobárico a P_2=1\:\mathrm{atm}, de V_2=20\:\mathrm{L} a V_3=10\:\mathrm{L}):
• Temperatura final
T_3=\frac{P_2V_3}{R}\approx\frac{1\times10}{0{,}08206}\approx121{,}8\:\mathrm{K}.
• Variação de energia interna
\Delta U_2=C_V\,(T_3-T_2) =\frac{5}{2}R\,(121{,}8-243{,}7) \approx-2{,}53\times10^3\:\mathrm{J}.
• Trabalho
w_2=P_2\,(V_3-V_2) =1\:\mathrm{atm}\times(-10\:\mathrm{L}) =-10\:\mathrm{L\,atm}\approx-1{,}01\times10^3\:\mathrm{J}.
• Calor q_2=\Delta U_2+w_2\approx-2{,}53\times10^3-1{,}01\times10^3=-3{,}55\times10^3\:\mathrm{J}.

Passo 4

Processo 3 (isocórico a V_3=V_1=10\:\mathrm{L}, de P_3=1\:\mathrm{atm} a P_1=2{,}64\:\mathrm{atm}):
• Temperatura final volta a T_1=321{,}7\:\mathrm{K}. Como w_3=0,
\Delta U_3=C_V\,(T_1-T_3) =\frac{5}{2}R\,(321{,}7-121{,}8) \approx+4{,}15\times10^3\:\mathrm{J},
q_3=\Delta U_3\approx+4{,}15\times10^3\:\mathrm{J}.

Passo 5

Somando tudo:
q_{\rm tot}=q_1+q_2+q_3=0-3{,}55\times10^3+4{,}15\times10^3 \approx+6,09\times10^2\:\mathrm{J},
w_{\rm tot}=w_1+w_2+w_3=1{,}62\times10^3-1{,}01\times10^3+0 \approx+6,09\times10^2\:\mathrm{J},
\Delta U_{\rm tot}=0\quad(\text{ciclo completo}).

Resposta

Processo 1:
q_{1} =0 w_{1} =+1,62\times 10^{3} J
Δ U_{1} = – 1,62\times 10^{3} J
Processo 2:
q_{2} = – 3,55\times 10^{3} J
w_{2} = – 1,01\times 10^{3} J
Δ U_{2} = – 2,53\times 10^{3} J
Processo 3:
q_{3} =+4,15\times 10^{3} J
w_{3} =0\Delta U_{3} =+4,15\times 10^{3} J
Totais:
q_tot =+6,09\times 10^{2} J
w_tot =+6,09\times 10^{2} J
ΔU_tot =0

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