Transforme a integral de linha em uma integral dupla e calcule seu valor. O caminho
é a fronteira orientada da região
dada.
,
é limitada pela reta
e pelo semicírculo superior de
Passo 1
A questão pede para transformar a integral de linha
numa integral dupla sobre a região
limitada por
e o semicírculo
(parte superior), e então calcular o valor. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas do rotacional de
, com
e
.
Passo 2
Aplicando o Teorema de Green, temos que
Aqui
logo o integrando fica
.
Passo 3
Precisamos então calcular
É conveniente usar coordenadas polares, com
,
,
,
, e
. Assim a integral vira
Passo 4
Calculemos separadamente:
Multiplicando tudo:
. Portanto a integral de linha original vale zero.
Passo 5
Por simetria (integrando
sobre uma região espelhada em torno do eixo
) ou pelo cálculo direto, chegamos ao mesmo resultado nulo.
Resposta
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