Transforme a integral de linha em uma integral dupla e calcule seu valor. O caminho C é a fronteira orientada da região Omega dada.
ointC x y d x+2 x^2 d y, Omega é limitada pela reta y=0 e pelo semicírculo superior de x^2+y^2=4

Passo 1

A questão pede para transformar a integral de linha ointC x y,dx + 2x^2,dy numa integral dupla sobre a região Omega limitada por y=0 e o semicírculo x^2+y^2=4 (parte superior), e então calcular o valor. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas do rotacional de (P,Q), com P=xy e Q=2x^2.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Green, temos que
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaOmega l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
Aqui
partial Qpartial x = partial (2x^2)partial x = 4x,
partial Ppartial y = partial (xy)partial y = x,
logo o integrando fica 4x - x = 3x.

Passo 3

Precisamos então calcular
integral duplaOmega 3x,dA
É conveniente usar coordenadas polares, com x = rcostheta, y = rsintheta, rin[0,2], thetain[0,pi], e dA = r,dr,dtheta. Assim a integral vira
integraltheta=0^piintegralr=0^2 3,(rcostheta),r,dr,dtheta = 3integral0^picostheta,dtheta integral0^2 r^2,dr

Passo 4

Calculemos separadamente:
integral0^2 r^2,dr = l[r^33r]0^2 = 83,
integral0^pi costheta,dtheta = l[sinthetar]0^pi = 0
Multiplicando tudo: 3times 83times 0 = 0. Portanto a integral de linha original vale zero.

Passo 5

Por simetria (integrando x sobre uma região espelhada em torno do eixo y) ou pelo cálculo direto, chegamos ao mesmo resultado nulo.

Resposta

0

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