Um campo vetorial
é conservativo se
para alguma função a valores reais
. Para os campos bidimensionais abaixo, diga se são conservativos ou não. Em caso afirmativo, determine
tal que
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre campos vetoriais conservativos. A questão pediu para verificar se o campo vetorial dado é conservativo e, se for, encontrar a função potencial $ f $ tal que $ \overrightarrow{\mathbf{v}} = \nabla f $. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, como o gradiente e a condição de conservatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial:
Aqui, $ P(x, y) = 2x \cos(y) - y \cos(x) $ e $ Q(x, y) = -\left(x^{2} \sin(y) + \sin(x)\right) $.
Passo 3
Para determinar se o campo é conservativo, precisamos verificar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja, se:
Vamos calcular cada uma:
Como $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $, o campo vetorial é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial $ f(x, y) $ tal que:
Vamos integrar $ P $ em relação a $ x $:
Aqui, $ g(y) $ é uma função de $ y $ que aparece na integração.
Passo 5
Para encontrar $ g(y) $, diferenciamos $ f(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ Q $:
Isso nos mostra que $ g’(y) = 0 $, ou seja, $ g(y) $ é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero sem perda de generalidade.
Resposta
O campo vetorial é conservativo, e a função potencial é
onde $ C $ é uma constante.