Um campo vetorial v: U subset R^n R^n é conservativo se v=nabla f para alguma função a valores reais f: U R. Para os campos bidimensionais abaixo, diga se são conservativos ou não. Em caso afirmativo, determine f tal que v=nabla f.
v(x, y)=(2 x cos (y)-y cos (x)) i-(x^2 sen(y)+sen(x)) j

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre campos vetoriais conservativos. A questão pediu para verificar se o campo vetorial dado é conservativo e, se for, encontrar a função potencial $ f $ tal que $ \overrightarrow{\mathbf{v}} = \nabla f $. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, como o gradiente e a condição de conservatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial:
v(x, y) = (2x cos(y) - y cos(x)),i - (x^2 sin(y) + sin(x)),j
Aqui, $ P(x, y) = 2x \cos(y) - y \cos(x) $ e $ Q(x, y) = -\left(x^{2} \sin(y) + \sin(x)\right) $.

Passo 3

Para determinar se o campo é conservativo, precisamos verificar se as derivadas parciais cruzadas são iguais, ou seja, se:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Vamos calcular cada uma:
partial Ppartial y = partialpartial y(2x cos(y) - y cos(x)) = -2x sin(y) - cos(x)
partial Qpartial x = partialpartial x(-x^2 sin(y) - sin(x)) = -2x sin(y) - cos(x)
Como $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $, o campo vetorial é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial $ f(x, y) $ tal que:
f(x, y)
Vamos integrar $ P $ em relação a $ x $:
v = nabla f Rightarrow partial fpartial x = P e partial fpartial y = Q
Aqui, $ g(y) $ é uma função de $ y $ que aparece na integração.

Passo 5

Para encontrar $ g(y) $, diferenciamos $ f(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ Q $:
g(y)
Isso nos mostra que $ g’(y) = 0 $, ou seja, $ g(y) $ é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero sem perda de generalidade.

Resposta

O campo vetorial é conservativo, e a função potencial é
f(x, y) = x^2 cos(y) - y sin(x) + C
onde $ C $ é uma constante.

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