Escolha uma opção: y=52 e^-t-12 e^-3 t
Nenhuma das demais alternativas y=12 e^t3-8 e^t2 y=3 e^-t+22-e^t+222 y=e^t y=-1-e^-3 t
Passo 1
Vamos resumir o problema. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
l y^prime prime+4 y^prime+3 y=0 y(0)=2 y^prime(0)=-1
Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial:
r^2 + 4 r + 3 = 0
Isso nos ajudará a encontrar os valores de $ r $ que determinam a forma da solução.
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
r^2 + 4 r + 3 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 4 $, e $ c = 3 $.
Passo 4
Calculando o discriminante:
De
Como $ \Delta > 0 $, temos duas raízes reais e distintas.
Passo 5
Encontrando as raízes:
r = -4 pm raiz4 2 = -4 pm 2 2
Então:
r1 = -4 + 2 2 = -1
r2 = -4 - 2 2 = -3
Passo 6
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^-t + C2 e^-3 t
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_{1} $ e $ C_{2} $.
Primeiro, para $ t = 0 $:
C1
Logo, temos:
C2 çã
Passo 8
Em seguida, derivamos $ y(t) $ para encontrar $ y’(t) $:
y(t)
Aplicando $ t = 0 $:
y'(t)
Isso nos dá:
y'(t) = -C1 e^-t - 3 C2 e^-3 t çã
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações (Equação 1 e Equação 2):
C1 + C2 = 2 -C1 - 3 C2 = -1
Podemos multiplicar a Equação 1 por -1:
- C1 - C2 = -2
Agora, somamos com a Equação 2:
(- C1 - C2) + (- C1 - 3 C2) = -2 + (-1)
-2 C1 -4 C2 = -3
Simplificando:
C1 + 2 C2 = 1.5
Mas, para facilitar, podemos resolver diretamente:
Da Equação 1: $ C_{1} = 2 - C_{2} $
Substituindo na Equação 2:
C1 = 2 - C2
-(2 - C2) - 3 C2 = -1
-2 + C2 - 3 C2 = -1
-2 - 2 C2 = -1
-2 C2 = 1
Então, $ C_{1} = 2 - (-0.5) = 2.5 $
Ou seja, $ C_{1} = \frac{5}{2} $ e $ C_{2} = -\frac{1}{2} $