lim t 1(e^t-et-1, ln t1-t, 2)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício:
lim t 1(e^t-et-1, ln t1-t, 2)
Conteúdo da Matéria: Este exercício envolve o cálculo de limites de funções, incluindo funções exponenciais e logarítmicas.
O que vamos precisar para resolver: Conhecimentos sobre limites, regras de derivação (especialmente a definição de derivada), e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Vamos dividir o limite vetorial em seus componentes individuais. Ou seja, calcularemos o limite de cada uma das três partes separadamente.
lim t 1e^t-et-1, lim t 1ln t1-t, lim t 1 2

Passo 3

Primeiro componente:
lim t 1e^t-et-1
Essa expressão se assemelha à definição da derivada da função $ f(t) = e^{t} $ no ponto $ t = 1 $. A definição da derivada é:
f(t) = e^t
Portanto, podemos identificar que:
t = 1
Assim,
f'(a) = limt a f(t) - f(a)t - a
Explicação: A derivada de $ e^{t} $ em qualquer ponto é $ e^{t} $. Portanto, no ponto $ t = 1 $, a derivada é $ e $.

Passo 4

Segundo componente:
lim t 1ln t1-t
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a análise:
ln t1 - t = -ln tt - 1
Agora, observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando $ t $ se aproxima de 1, formando uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $. Para resolver isso, podemos aplicar a regra de l’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Aplicando a regra de l’Hôpital:
t
Explicação: Derivamos $ \ln t $ para obter $ \frac{1}{t} $ e $ t - 1 $ para obter 1. Substituindo $ t = 1 $, obtemos -1.

Passo 5

Terceiro componente:
lim t 1 2
Essa é uma função constante, portanto, o limite é simplesmente o valor da constante.
lim t 1 2 = 2

Resposta

Portanto, o limite é:
(e, -1, 2)

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