Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício:
Conteúdo da Matéria: Este exercício envolve o cálculo de limites de funções, incluindo funções exponenciais e logarítmicas.
O que vamos precisar para resolver: Conhecimentos sobre limites, regras de derivação (especialmente a definição de derivada), e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
Vamos dividir o limite vetorial em seus componentes individuais. Ou seja, calcularemos o limite de cada uma das três partes separadamente.
Passo 3
Primeiro componente:
Essa expressão se assemelha à definição da derivada da função $ f(t) = e^{t} $ no ponto $ t = 1 $. A definição da derivada é:
Portanto, podemos identificar que:
Assim,
Explicação: A derivada de $ e^{t} $ em qualquer ponto é $ e^{t} $. Portanto, no ponto $ t = 1 $, a derivada é $ e $.
Passo 4
Segundo componente:
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a análise:
Agora, observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0 quando $ t $ se aproxima de 1, formando uma indeterminação do tipo $ \frac{0}{0} $. Para resolver isso, podemos aplicar a regra de l’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Aplicando a regra de l’Hôpital:
Explicação: Derivamos $ \ln t $ para obter $ \frac{1}{t} $ e $ t - 1 $ para obter 1. Substituindo $ t = 1 $, obtemos -1.
Passo 5
Terceiro componente:
Essa é uma função constante, portanto, o limite é simplesmente o valor da constante.
Resposta
Portanto, o limite é: