Um campo vetorial
é conservativo se
para alguma função a valores reais
. Para os campos bidimensionais abaixo, diga se são conservativos ou não. Em caso afirmativo, determine
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se um campo vetorial bidimensional é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser representado como o gradiente de alguma função escalar $ f $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e derivadas parciais. Vamos checar as condições para que o campo seja conservativo e, se for o caso, encontrar a função $ f $ correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial $ \overrightarrow{\mathbf{v}} = P\overrightarrow{\mathbf{i}} + Q\overrightarrow{\mathbf{j}} $ é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar $ f $, ou seja:
Isso significa que:
Passo 3
Para verificar se o campo é conservativo, precisamos verificar se as derivadas cruzadas são iguais, ou seja:
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo $ \overrightarrow{\mathbf{v}}(x, y) = x e^{y} \overrightarrow{\mathbf{i}} + y e^{x} \overrightarrow{\mathbf{j}} $.
Primeiro, identifiquemos $ P $ e $ Q $:
Agora, calculemos $ \frac{\partial P}{\partial y} $ e $ \frac{\partial Q}{\partial x} $:
Passo 4
Agora, comparamos $ \frac{\partial P}{\partial y} $ e $ \frac{\partial Q}{\partial x} $:
Essas duas expressões são iguais somente se $ x e^{y} = y e^{x} $ para todos os $ x $ e $ y $, o que não é verdade em geral. Portanto, as derivadas cruzadas não são iguais.
Resposta
O campo vetorial não é conservativo.