Um campo vetorial v: U subset R^n R^n é conservativo se v=nabla f para alguma função a valores reais f: U R. Para os campos bidimensionais abaixo, diga se são conservativos ou não. Em caso afirmativo, determine f tal que v=nabla f.
v(x, y)=x e^y i+y e^x j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se um campo vetorial bidimensional é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser representado como o gradiente de alguma função escalar $ f $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e derivadas parciais. Vamos checar as condições para que o campo seja conservativo e, se for o caso, encontrar a função $ f $ correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial $ \overrightarrow{\mathbf{v}} = P\overrightarrow{\mathbf{i}} + Q\overrightarrow{\mathbf{j}} $ é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar $ f $, ou seja:
v = Pi + Qj
Isso significa que:
f

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, precisamos verificar se as derivadas cruzadas são iguais, ou seja:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo $ \overrightarrow{\mathbf{v}}(x, y) = x e^{y} \overrightarrow{\mathbf{i}} + y e^{x} \overrightarrow{\mathbf{j}} $.
Primeiro, identifiquemos $ P $ e $ Q $:
v(x, y) = x e^y i + y e^x j
Agora, calculemos $ \frac{\partial P}{\partial y} $ e $ \frac{\partial Q}{\partial x} $:
P
Q

Passo 4

Agora, comparamos $ \frac{\partial P}{\partial y} $ e $ \frac{\partial Q}{\partial x} $:
partial Ppartial y
Essas duas expressões são iguais somente se $ x e^{y} = y e^{x} $ para todos os $ x $ e $ y $, o que não é verdade em geral. Portanto, as derivadas cruzadas não são iguais.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

Exercícios relacionados